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Cuantificadores



En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:[1]


El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores ( y ) que permite cuantificar nuevos argumentos. La obra se encuentra dividida en varios capítulos:

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

Se lee:

Se tienen las siguientes relaciones universales:

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores y tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos.

Ejemplos:

Cuando ponemos el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador . Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.

En caso de que se quiera priorizar el operador lógico () se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación

Un error muy común es considerar que es lo mismo que cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería .

Lógica de cuantificadores

Begriffsschrift



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