Decaimiento exponencial

Una cantidad está sujeta a un decaimiento exponencial si se disminuye a una tasa proporcional con respecto a su valor actual. Simbólicamente, este proceso puede ser expresado por la siguiente ecuación diferencial, donde N es la cantidad y λ (lambda) es una tasa positiva llamada constante de decaimiento exponencial:

La solución a esta ecuación (ver derivación más abajo) es:

donde N (t) es la cantidad en el momento t y N₀ = N(0) es la cantidad inicial, es decir, la cantidad en el momento t = 0^[1]​

Si la cantidad en decadencia, N(t), es el número de elementos discretos en un determinado conjunto, es posible calcular el tiempo medio que un elemento permanece en el conjunto. A esto se le llama la vida media (o simplemente la vida), a menudo es denotada como ${displaystyle au }$. La vida media o promedio, ${displaystyle au }$, se relaciona con la tasa de decaimiento, λ, de la siguiente manera:

La vida media se puede considerar como un "tiempo de escala", porque la ecuación de decaimiento exponencial se puede escribir en términos de la vida media, ${displaystyle au }$, en lugar de la constante de decaimiento, λ:

De donde se deduce que ${displaystyle au }$ es el momento en que la población del conjunto queda reducida a 1/e ≈ 0.367879441 multiplicado por su valor inicial.

Por ejemplo, si la población inicial, N(0), es 1000, entonces la población transcurrido un tiempo ${displaystyle au }$ viene dada por ${displaystyle N( au )=1000/e=368}$.

En algunos casos, una medida más útil del decaimiento exponencial es el tiempo necesario para que la cantidad del producto en decaimiento se reduzca a la mitad de su valor inicial. Este tiempo recibe el nombre de semivida, o periodo de semidesintegración en contextos radioactivos, y a menudo es denotado por el símbolo t_1/2. La semivida puede escribirse en términos de la constante de decaimiento, λ, o de la vida media, τ, como:

Ecuación que se ha obtenido resolviendo para t_1/2 la ecuación exponencial:

Así, la cantidad de sutancia que queda transcurrido un tiempo t_1/2 es 2⁻¹ = 1/2 elevado al número (entero o no) de vidas medias que han transcurrido. Por ememplo, después de 3 vidas medias quedarán 1/2³ = 1/8 del material original.

Por lo tanto, la vida media ${displaystyle au }$ es igual a la semivida dividida por el logaritmo natural de 2, o:

Esto es, el período de semidesintegración o semivida de una sustancia es aproximadamente el 69,31 % de su vida media. Por ejemplo, el polonio-210 tiene una semivida de 138 días, y una vida media de 200 días.

La ecuación que describe el decaimiento exponencial es

o, por reordenación (aplicando el método de separación de variables),

Integrando, tenemos

donde C es la constante de integración, y por lo tanto

donde la sustitución final, N₀ = e^C, se obtiene evaluando la ecuación a t = 0, ya que N₀ se define como la cantidad a t = 0.

Esta es la forma de la ecuación que se usa más comúnmente para describir el decaimiento exponencial. Cualquiera de las constante de decaimiento, vida útil media o vidas media es suficiente para caracterizar el decaimiento. La notación λ para la constante de decaimiento es un remanente de la notación usual para un valor propio. En este caso, λ es el valor propio del opuesto del operador diferencial con N(t) como la autofunción correspondiente. Las unidades de la constante de caída son s^{−1[cita requerida]}.

Dado un conjunto de elementos, cuyo número disminuye en última instancia a cero, la vida útil media, ${displaystyle au }$, (también llamada simplemente vida útil) es el valor esperado de la cantidad de tiempo que transcurre antes de que un objeto sea retirado del conjunto. Específicamente, si la "vida útil individual" de un elemento del conjunto es el tiempo transcurrido entre un determinado tiempo de referencia y la retirada de ese elemento del conjunto, la vida útil media es la media aritmética de los tiempos de vida individuales.

A partir de la fórmula de población

primero deja que c sea el factor normalizador para convertir a función de densidad de probabilidad:

o, en la reorganización,

El decaimiento exponencial es un escalar múltiple de la distribución exponencial. (es decir, la vida útil individual de cada objeto se distribuye exponencialmente), que tiene un valor esperado bien conocido. Podemos calcularlo aquí usando integración por partes.

Una cantidad puede decaer a través de dos o más procesos diferentes simultáneamente. En general, estos procesos (a menudo llamados "modos de decaimiento", "canales de decaimiento", "rutas de decaimiento", etc.) tienen diferentes probabilidades de ocurrir, y por lo tanto ocurren a diferentes velocidades y con diferentes vidas medias, en paralelo. La tasa de decaimiento total de la cantidad N viene dada por la suma de las rutas de decaimiento; por lo tanto, en el caso de dos procesos:

La solución a esta ecuación se da en la sección anterior, donde la suma de ${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2},}$ se trata como una nueva constante de decaimiento total ${displaystyle lambda _{c}}$.

La vida útil parcial asociada a los procesos individuales es por definición del inverso multiplicativo de la correspondiente constante de decaimiento parcial: ${displaystyle au =1/lambda }$. Una combinación de ${displaystyle au _{c}}$ puede ser dada en términos de ${displaystyle lambda }$s:

Dado que la vida útil difiere de la vida media en un factor constante, la misma ecuación se mantiene en términos de las dos vidas medias correspondientes:

donde ${displaystyle T_{1/2}}$ es la vida media combinada o total para el proceso, ${displaystyle t_{1}}$ y ${displaystyle t_{2}}$ se denominan vida media parcial de los procesos correspondientes. Los términos "vida media parcial" y "vida útil parcial" denotan cantidades derivadas de una constante de decaimiento como si el modo de decaimiento dado fuera el único modo de decaimiento para la cantidad. El término vida media parcial es engañoso, ya que no puede medirse como un intervalo de tiempo en el que una determinada cantidad se reduce a la mitad.

En términos de constantes de decaimiento separadas, se puede demostrar que la vida media total ${displaystyle T_{1/2}}$ es de

Para un decaimiento por tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total puede calcularse como se indica arriba:

El decaimiento exponencial ocurre en una amplia variedad de situaciones. La mayoría de éstos caen en el dominio de las ciencias naturales.

Muchos procesos de decaimiento que a menudo se tratan como exponenciales, son realmente exponenciales siempre y cuando la muestra sea grande y la ley de los grandes números se mantenga. Para muestras pequeñas, es necesario un análisis más general, que dé cuenta de un proceso de Poisson.

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