Derivada total

En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si ${displaystyle z=z(x,y),}$ una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

En cálculo vectorial, la diferencial total de una función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} ightarrow mathbb {R} }$ se puede representar de la siguiente manera:

donde f es una función ${displaystyle f=f(x_{1},x_{2},..;..,x_{n}),}$.

La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x,'y, z) que dependen de otras variables x= x(t), y=y(t), z= z(t). En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

donde x' es la derivada respecto a t de x, ${displaystyle x'={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}}$ al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo ${displaystyle f(t,x,x')}$ que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo ${displaystyle x=x(t), x'={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}}$ Entonces derivar respecto al tiempo queda

Una función sencilla:

Un ejemplo más complejo e ilustrativo:

Dadas ${displaystyle P:Asubseteq mathbb {R} ^{2}longrightarrow mathbb {R} , Q:Bsubseteq mathbb {R} ^{2}longrightarrow mathbb {R} }$ dos funciones con ${displaystyle scriptstyle {frac {partial P}{partial y}}}$ y ${displaystyle scriptstyle {frac {partial Q}{partial x}}}$ continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.

La ecuación

${displaystyle P(x,y),mathrm {d} x+Q(x,y),mathrm {d} y=0}$

se llama ecuación en diferenciales totales.^[1]​

Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y solo si

${displaystyle {frac {partial P}{partial y}}={frac {partial Q}{partial x}}.}$

Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta.