Desigualdad triangular

La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. ^[1]​

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

${displaystyle a<(b+c),qquad b<(a+c),qquad c<(a+b)}$

donde a, b y c son los lados.

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado ${displaystyle V,forall x,yin V, left|x+y ight|leq left|x ight|+left|y ight|}$

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b se cumple: ${displaystyle |a+b|leq |a|+|b|}$

cuya demostración es:

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones:

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto ${displaystyle |a|leq b}$ si y solo si ${displaystyle -bleq aleq b}$ en la línea de arriba queda:

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

${displaystyle |x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}|leq |x_{1}|+|x_{2}|+cdots +|x_{n}|}$,

es decir:

${displaystyle left|sum _{i=1}^{n}x_{i} ight|leq sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.}$

donde n es un número natural, y los ${displaystyle x_{i}}$ son números reales.

Como casos iniciales observamos que para n=1:

${displaystyle |x_{1}|leq |x_{1}|}$

puesto que el símbolo ${displaystyle leq }$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad

Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica

${displaystyle |x_{1}+x_{2}|leq |x_{1}|+|x_{2}|}$

Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado

${displaystyle left|sum _{i=1}^{k}x_{i} ight|leq sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.}$

Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1.

Partimos de la siguiente expresión:

${displaystyle left|sum _{i=1}^{k+1}x_{i} ight|=left|sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1} ight|}$

y observando que ${displaystyle sum _{i=1}^{k}x_{i}}$ es un número real y ${displaystyle x_{k+1}}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos:

${displaystyle left|sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1} ight|leq left|sum _{i=1}^{k}x_{i} ight|+|x_{k+1}|}$

Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos

${displaystyle left|sum _{i=1}^{k}x_{i} ight|leq sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.}$

la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener

${displaystyle left|sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1} ight|leq sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.}$

Sin embargo, esta última expresión es precisamente

${displaystyle sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.}$

de manera que hemos demostrado

${displaystyle left|sum _{i=1}^{k+1}x_{i} ight|leq sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.}$

y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Esta desigualdad puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

${displaystyle left|int _{A}f(x){ ext{d}}mu (x) ight|leq int _{A}|f(x)|{ ext{d}}mu (x)}$

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene

${displaystyle |f+g|_{p}leq |f|_{p}+|g|_{p}}$

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

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