Espacios vectoriales normados

En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:

Un espacio vectorial V sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$ en el que se define un valor absoluto (generalmente ${displaystyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {C} }$) se dice que es normado si en él se puede definir una norma, es decir, una aplicación ${displaystyle |cdot |:V ightarrow mathbb {R} }$, que verifica:

Generalmente se denotará a ${displaystyle (V,|cdot |)}$ al espacio vectorial normado y, cuando la norma sea clara, simplemente por ${displaystyle V}$.

En todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia ${displaystyle d:V imes V ightarrow R}$:

con la cual (V,d) es un espacio métrico.

Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):

En análisis funcional, teoría de ecuaciones diferenciales e incluso en mecánica cuántica intervienen espacios normados de dimensión infinita, en especial espacios de Banach y espacios de Hilbert. Ambos tipos de espacios son métricamente completos, siendo todo espacio de Hilbert trivialmente también un espacio de Banach (al revés solo es cierto si la norma del espacio de Banach satisface la ley del paralelogramo).

Los espacios de Banach son ampliamente usados para discutir ecuaciones de evolución que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias (en concreto un problema bien definido está definido sobre un espacio de Banach).