Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados ${displaystyle u,vin E}$ diremos que están relacionados módulo ${displaystyle F,}$ si ${displaystyle u-vin F}$.

Observación:${displaystyle u-vin F}$ equivale a ${displaystyle u-v=w,win F}$, es decir, ${displaystyle u=v+w,win F}$ y abusando del lenguaje ${displaystyle u=v+F.}$

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:

El espacio ${displaystyle E/F_{}^{}}$ es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

Observaciones

Dado ${displaystyle E,}$ un espacio vectorial y ${displaystyle Fsubset E}$ un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

Tomando clases, ${displaystyle [u]=sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]}$, pues ${displaystyle [u_{1}]=...=[u_{m}]=[0]}$ (ya que ${displaystyle u_{1},...,u_{m}in F}$). Luego, se tiene que ${displaystyle [u_{m+1}],...,[u_{n}]}$ generan ${displaystyle E/F.}$

Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:

entonces, ${displaystyle sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}}$ pertenece a ${displaystyle F}$, en consecuencia, existen ${displaystyle k_{1},...,k_{m}}$ tales que ${displaystyle sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}=sum _{i=1}^{m}k_{i}u_{i}}$.

Por la independencia lineal de ${displaystyle u_{1},...,u_{n}}$, se sigue que ${displaystyle k_{m+1},...,k_{n}=0}$.

Por lo tanto, ${displaystyle u_{m+1},...,u_{n}}$ son una base de ${displaystyle E/F}$ y ${displaystyle dimE/F=n-m=dimE-dimF.}$

Sea ${displaystyle F,}$ un subespacio vectorial de ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ generado por un vector ${displaystyle v,}$, ${displaystyle F=langle v angle }$, si se considera el espacio cociente ${displaystyle mathbb {R} ^{2}/F}$ la clase de un vector ${displaystyle uin mathbb {R} ^{2}}$ será: