Espacio de producto interior

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par ${displaystyle (V,langle cdot |cdot angle )}$, donde ${displaystyle V,}$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$ y ${displaystyle langle cdot |cdot angle }$ es un producto escalar en ${displaystyle V,}$.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base ${displaystyle mathbb {K} }$ sea ${displaystyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {C} }$, así ningún espacio prehilbertiano sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$ puede ser un espacio de Hilbert.

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser ${displaystyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {C} }$), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

En los espacios con producto escalar se define una norma

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas: