Espiral de Teodoro

En geometría, la espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas^[1]​ es una espiral compuesta de triángulos rectángulos contiguos (uno al lado de otro), atribuida a Teodoro de Cirene

La espiral se inicia con un triángulo rectángulo isósceles, con ambos catetos de longitud 1 unidad (1u). Otro triángulo rectángulo se forma, siendo un cateto de longitud la hipotenusa del primer triángulo, en este caso la raíz cuadrada de 2 y el otro cateto de longitud 1 unidad; la longitud de la hipotenusa de segundo triángulo es raíz cuadrada de 3. Este proceso se repite; el i-ésimo triángulo en la secuencia es un triángulo rectángulo con sus catetos de longitud √i y 1, e hipotenusa √(i + 1). En la imagen que encabeza el artículo, se ha representado hasta la raíz cuadrada de 17, valor hasta el que Teodoro extendió sus cálculos.

A pesar de haberse perdido todas las obras de Teodoro, Platón en su diálogo Teeteto incluye referencias a él y a sus trabajos, en los que se supone que demostró la irracionalidad de las raíces desde la 3 hasta la 17 por medio de esta espiral.^[2]​ Platón no atribuye a Teodoro la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, al ser ya conocida por matemáticos anteriores a Teodoro.^[3]​

Teodoro finalizó su espiral en el triángulo rectángulo de hipotenusa √17. Si la espiral continua con la construcción de infinitos triángulos, surgen muchas características y propiedades interesantes.

Cada una de las hipotenusas de los triángulos h_i (que se corresponden con los radios de la espiral) dan la raíz cuadrada para el número natural consecutivo, con h₁ = √2, h₂ = √3, h₃ = √4=2 y así sucesivamente.

En 1958, Erich Teuffel demostró que no hay dos hipotenusas de los triángulos con los que se construye la hélice, que coincidan sobre el mismo radio. Además, si los catetos que miden una unidad de longitud se prolongan mediante una línea recta, nunca pasarán a través de ningún otro de los vértices de la espiral.^[4]​^[5]​

Si φ_n es el ángulo del n-ésimo triángulo (o segmento de espiral), entonces:

${displaystyle an left(varphi _{n} ight)={frac {1}{sqrt {n}}}.}$

Por lo tanto, el crecimiento del ángulo φ_n del siguiente triángulo n es:^[6]​

${displaystyle varphi _{n}=arctan left({frac {1}{sqrt {n}}} ight).}$

La suma de los ángulos de los primeros k triángulos, se designa ángulo total φ(k) del k triángulo, y es igual a:

${displaystyle varphi left(k ight)=sum _{n=1}^{k}varphi _{n}=2{sqrt {k}}+c_{2}(k)}$

con

${displaystyle lim _{k o infty }c_{2}(k)=-2.157782996659ldots .}$

El crecimiento del radio de la espiral hasta un cierto triángulo n es

${displaystyle Delta r={sqrt {n+1}}-{sqrt {n}}.}$

Dado que el incremento del radio en cada vuelta tiende a Π, a medida que se incrementa el número de vueltas, la longitud de la espira tiende a crecer en cada vuelta:

${displaystyle Delta l=2Pi Delta r=2Pi ^{2}=19.7392088022...}$

y el área de cada espira, tiende a incrementarse respecto a la anterior en:

${displaystyle Delta S=Delta lDelta r=2Pi ^{2}Pi =2Pi ^{3}=62.0125533606...}$

La espiral de Teodoro se aproxima a una espiral de Arquímedes^[6]​ con la expresión:

La distancia entre dos brazos consecutivos de la espiral de Arquímedes es proporcional a pi. Cuando el número de giros de la espiral de Teodoro tiende a infinito, la distancia entre dos brazos de espiral consecutivos se aproxima rápidamente a π.

La siguiente tabla muestra la distancia media entre cada brazo de la espiral de Teodoro y el anterior, aproximándose a π:

Como puede verse, después de la quinta vuelta de la espiral,^[1]​ la distancia tiene un exactitud aproximada de 99.97% con respecto al valor de π.

La pregunta de cómo interpolar los puntos discretos de la espiral de Teodoro mediante una curva suave, se propuso y fue resuelta (Davis, 2001, pp. 37–38) por analogía con la fórmula de Euler para la función gamma como interpolante para la función factorial. Davis encontró la función

que fue estudiada más a fondo por su alumno Leader^[7]​ y por Iserles (en un apéndice a (Davis, 2001)). Una caracterización axiomática de esta función se da en (Gronau, 2004) como la única función que satisface la ecuación funcional

la condición inicial ${displaystyle f(0)=1,}$ y la condición monótona tanto del argumento como del módulo. También se estudian condiciones alternativas y debilitamientos. Una deducción alternativa se da en (Heuvers, Moak y Boursaw, 2000).

En (Waldvogel, 2009) se da una continuación analítica de la forma continua de Davis de la espiral de Teodoro que se extiende en dirección opuesta a la del origen.