Matriz diagonal

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño ${displaystyle 2 imes 2}$ es

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño ${displaystyle 3 imes 3}$ es

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

La matriz ${displaystyle D=(d_{i,j})}$ con ${displaystyle n}$ columnas y ${displaystyle n}$ renglones es diagonal si

Los elementos de la diagonal principal de la matriz ${displaystyle D}$ pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal ${displaystyle D=operatorname {diag} (a_{1},dots ,a_{n})}$ y un vector ${displaystyle mathbf {v} ={egin{bmatrix}x_{1}&cdots &x_{n}end{bmatrix}}^{T}}$ el producto es:

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño ${displaystyle D=operatorname {diag} (a_{1},dots ,a_{n})}$ y ${displaystyle B=operatorname {diag} (b_{1},dots ,b_{n})}$.

Para la suma de matrices diagonales se tiene

y para el producto de matrices,

La matriz diagonal ${displaystyle D=operatorname {diag} (a_{1},dots ,a_{n})}$ es invertible si y sólo si las entradas ${displaystyle a_{1},dots ,a_{n}}$ son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de ${displaystyle n imes n}$.

Multiplicar la matriz ${displaystyle A}$ por la izquierda con ${displaystyle operatorname {diag} (a_{1},dots ,a_{n})}$ equivale a multiplicar la ${displaystyle i}$-ésima fila de ${displaystyle A}$ por ${displaystyle a_{i}}$ para todo ${displaystyle i}$. Multiplicar la matriz ${displaystyle A}$ por la derecha con ${displaystyle operatorname {diag} (a_{1},dots ,a_{n})}$ equivale a multiplicar la ${displaystyle i}$-ésima columna de ${displaystyle A}$ por ${displaystyle a_{i}}$ para todo ${displaystyle i}$.

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.