Factor de estructura

En la física de la materia condensada y la cristalografía, se conoce como factor de estructura o factor de estructura estático a la función que describe la dispersión de un haz incidente de radiación por la materia. El factor de estructura es un concepto que facilita la interpretación de los patrones de interferencia obtenidos en experimentos de difracción de rayos X, de electrones y de neutrones. Cuando es necesario examinar la evolución temporal del sistema estudiado, se utiliza el factor de estructura dinámico.

Sea ${displaystyle phi (mathbf {r} )}$ una función escalar definida en un volumen ${displaystyle V}$ que represente la distribución espacial de una propiedad física. Si la función ${displaystyle phi (mathbf {r} )}$ es integrable, se puede definir el factor de estructura como la transformada de Fourier:

${displaystyle F(mathbf {q} )=int _{V}phi (mathbf {r} ) mathrm {e} ^{-imathbf {q} mathbf {r} }mathrm {d} mathbf {r} }$

La expresión de ${displaystyle phi }$ en el espacio recíproco es muy útil para la interpretación de los experimentos de dispersión y difracción de una onda electromagnética. Se puede demostrar que en la aproximación de Born, aplicable cuando el campo dispersado es mucho más débil que el campo incidente, la amplitud de la onda asociada dispersada es proporcional a ${displaystyle extstyle F(mathbf {q} )}$, donde ${displaystyle mathbf {q} }$ es el vector de transferencia, igual a la diferencia entre los vectores de onda del campo incidente y dispersado.^[1]​ A menudo, solo se puede medir la intensidad de la onda dispersada ${displaystyle extstyle I(mathbf {q} )}$, relacionada con ${displaystyle extstyle F(mathbf {q} )}$ por la expresión ${displaystyle extstyle I(mathbf {q} )sim left|F(mathbf {q} ) ight|^{2}}$.

Cuando el sistema a estudiar está compuesto de un número ${displaystyle N}$ de átomos es conveniente expresar ${displaystyle phi }$ en función de la morfología o «forma» de las partículas individuales, descrita mediante la función ${displaystyle f(mathbf {r} )}$:

${displaystyle phi (mathbf {r} )=sum _{j=1}^{N}f(mathbf {r} -mathbf {R} _{j})=f(mathbf {r} )ast sum _{j=1}^{N}delta (mathbf {r} -mathbf {R} _{j})}$

donde ${displaystyle extstyle mathbf {R} _{j},j=1,,ldots ,,N}$ denota la posición de cada partícula. De esta forma se obtiene una expresión de la intensidad de la onda dispersada como la convolución de la función ${displaystyle f}$, que describe las características de las partículas con la suma de la función delta de Dirac, que describe su posición.^[2]​ Dado que la transformada Fourier de una convolución es igual al producto de las transformadas de los dos factores, se obtiene:

${displaystyle F(mathbf {q} )=f(mathbf {q} )sum _{j=1}^{N}mathrm {e} ^{-imathbf {q} mathbf {R} _{j}}}$

lo que resulta en:

${displaystyle I(mathbf {q} )sim left|F(mathbf {q} ) ight|^{2}=left|f(mathbf {q} ) ight|^{2} imes left(sum _{j=1}^{N}mathrm {e} ^{-imathbf {q} mathbf {R} _{j}} ight) imes left(sum _{k=1}^{N}mathrm {e} ^{imathbf {q} mathbf {R} _{k}} ight)=left|f(mathbf {q} ) ight|^{2}sum _{jk}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{j}-mathbf {R} _{k})}}$

En varias aplicaciones se define el factor de estructura geométrico como el factor que depende exclusivamente de la posición relativa de las partículas ${displaystyle S(mathbf {Q} )}$ como

${displaystyle S(mathbf {Q} )={frac {1}{N}}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{j}-mathbf {R} _{k})}}$

En este, caso, la intensidad dispersada se expresa como:

${displaystyle I(mathbf {q} )=Nleft|f(mathbf {q} ) ight|^{2}S(mathbf {q} )}$

Si se conoce el valor del factor de estructura, se puede obtener información sobre la distribución espacial de las componentes del sistema mediante la transformada de Fourier inversa.

En un cristal, las partículas constituyentes están dispuestas periódicamente en las tres direcciones espaciales, formando una red. Para describir la difracción por un cristal, se considera que todas las partículas de la red tienen un entorno idéntico, es decir, forman una red de Bravais; Si ${displaystyle mathbf {R} _{j}}$ son las posiciones de las partículas con respecto a un punto cualquiera de la red y ${displaystyle mathbf {R} _{n}}$ es un vector de la red, el factor de estructura se denota como:

${displaystyle F(mathbf {q} )=sum _{j=1}^{M}f(mathbf {q} )_{j}mathrm {e} ^{-imathbf {q} mathbf {R} _{j}}sum _{n=1}^{N}mathrm {e} ^{-imathbf {q} mathbf {R} _{n}}}$

El primer factor corresponde al factor de estructura de los ${displaystyle M}$ átomos en la celda unidad del cristal, y el segundo, a la suma sobre todos los puntos ${displaystyle N}$ de la red. El vector ${displaystyle mathbf {R} _{n}}$ se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de los vectores base de la red:

${displaystyle mathbf {R} _{n}=n_{1}mathbf {a} +n_{2}mathbf {b} +n_{3}mathbf {c} }$

Similarmente, ${displaystyle mathbf {q} }$ se puede expresar como una combinación lineal de vectores de la red recíproca calculada como la transformada de Fourier de la red cristalina:

${displaystyle mathbf {q} =hmathbf {a} ^{ast }+kmathbf {b} ^{ast }+lmathbf {c} ^{ast }}$

Puesto que el producto de dos vectores de una red y su correspondiente red recíproca es ${displaystyle mathbf {R} _{n}mathbf {q} =2pi (n_{1}h+n_{2}k+n_{3}l)=2pi n}$, donde ${displaystyle n}$ es un número entero, se deduce que se observará difracción cristalina si el vector de transferencia de momento ${displaystyle mathbf {q} }$ es un vector de la red recíproca,^[3]​ lo que se conoce como «condición de Laue».

En el caso especial de que las partículas o moléculas dispuestas en una línea con un periodo del ${displaystyle a}$ cuyas posiciones vienen dadas por ${displaystyle R_{n}=a(j-(N-1)/2)}$ (para simplificar, consideramos que ${displaystyle N}$ es impar), la suma de los factores de fase es una serie geométrica y el factor de la estructura se convierte en:

${displaystyle F(q)=left|{frac {1-mathrm {e} ^{-iNqa}}{1-mathrm {e} ^{-iqa}}} ight|^{2}=left[{frac {sin(Nqa/2)}{sin(qa/2)}} ight]^{2}}$

De esta expresión para ${displaystyle F(q)}$ , se obtienen las siguientes conclusiones:

La simetría de la red y del cristal resulta en relaciones entre los factores de estructura para diferentes valores de ${displaystyle mathbf {q} }$ que son útiles para el análisis de patrones de difracción cristalina; en el caso particular de cristales pertenecientes al sistema cúbico, caracterizado por vectores base de la misma longitud, ${displaystyle a}$ formando ángulos de 90°, se pueden definir varias redes de Bravais y elementos de simetría, como los siguientes:

Por convención, una red de tipo bcc contiene dos puntos, uno en el origen ${displaystyle mathbf {r} _{0}=(0,0,0)}$ y otro en ${displaystyle mathbf {r} _{1}=(1/2,1/2,1/2)}$, es decir, con coordenadas ${displaystyle (a/2)(mathbf {u} _{1}+mathbf {u} _{2}+mathbf {u} _{3})}$, donde ${displaystyle ({u}_{1}}$, ${displaystyle {u}_{2}}$ y ${displaystyle {u}_{3})}$ son vectores unitarios. La red recíproca es cúbica, con vectores base de magnitud ${displaystyle 2pi /a}$ y los puntos de la red recíproca se pueden expresar como ${displaystyle mathbf {q} =2pi a(hmathbf {u} _{1}^{ast }+kmathbf {u} _{2}^{ast }+lmathbf {u} _{3}^{ast })}$

${displaystyle F(mathbf {q} )=f(mathbf {q} )(mathrm {e} ^{0}+mathrm {e} ^{-i2pi (ha/2+ka/2+la/2)}=f(mathbf {q} )(1+e^{-ipi (h+k+l)})}$

Puesto que ${displaystyle e^{-ipi (h+k+l)}=-1}$ si ${displaystyle h+k+l}$ es un número impar, el factor de estructura será nulo —es decir, no se observará difracción— para los vectores ${displaystyle mathbf {q} =(h,k,l)}$ que cumplan esa condición; en cambio, ${displaystyle e^{-ipi (h+k+l)}=1}$ cuando ${displaystyle h+k+l}$ sea 0 o un número par y en este caso el factor de estructura será ${displaystyle 2f(mathbf {q} )}$.

Las redes fcc cuentan con cuatro puntos, con índices ${displaystyle mathbf {r} _{0}=(0,0,0)}$, ${displaystyle mathbf {r} _{1}=(1/2,1/2,0)}$, ${displaystyle mathbf {r} _{2}=(1/2,0,1/2)}$ y ${displaystyle mathbf {r} _{3}=(0,1/2,1/2)}$. En este caso el factor de estructura es

${displaystyle F(mathbf {q} )=f(mathbf {q} )(1+mathrm {(-1)} ^{h+k}+mathrm {(-1)} ^{k+l}+mathrm {(-1)} ^{h+l})}$

Esta expresión es igual a ${displaystyle 4f(mathbf {q} )}$ siempre que los índices ${displaystyle h}$, ${displaystyle k}$ y ${displaystyle l}$ sean todos pares o todos impares, y 0 en caso contrario.

Esta red, así llamada por ser característica de los diamantes, al igual que del silicio y otros semiconductores tiene ocho puntos, con índices

El factor se estructura es ${displaystyle F(mathbf {q} )=f(mathbf {q} )(1+mathrm {(-1)} ^{h+k}+mathrm {(-1)} ^{k+l}+mathrm {(-1)} ^{h+l}+mathrm {i} ^{h+k+l}+mathrm {i} ^{3h+k+3l}+mathrm {i} ^{3h+3k+l}+mathrm {i} ^{h+3k+3l})}$

Si ${displaystyle h}$, ${displaystyle k}$ y ${displaystyle l}$ son todos pares o impares el factor de estructura toma los siguientes valores:

el factor de estructura es 0 en todos los casos restantes.

A diferencia de los cristales, la materia en estado líquido no posee orden de alcance largo, por lo que el factor de estructura no exhibe los picos discretos que caracterizan a la difracción por cristales. Sin embargo, los líquidos tienen un cierto grado de orden de corto alcance, que depende de su densidad y la magnitud de la interacción entre sus partículas conformantes. Como los líquidos son isotrópicos, el factor de estructura solo depende del módulo del vector ${displaystyle q=left|mathbf {q} ight|}$ y no de su dirección.^[4]​ Si en la expresión general para el factor de estructura se separan los términos diagonales ${displaystyle j=k}$, cuya fase es 0 y son por tanto iguales a la unidad se obtiene:

${displaystyle S(q)=1+{frac {1}{N}}sum _{j eq k}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{j}-mathbf {R} _{k})}}$

En el caso extremo de que no exista ninguna interacción entre las partículas, los términos no diagonales ${displaystyle j eq k}$ del factor de estructura para líquidos se anulan, por ser las posiciones ${displaystyle mathbf {R} _{j}}$ y ${displaystyle mathbf {R} _{k}}$ totalmente independientes entre sí. Eso conlleva que ${displaystyle S(q)=1}$ y ${displaystyle F(q)}$ es isotrópico y su magnitud depende sólo del tipo de partículas que dispersan la radiación incidente.

Incluso cuando existe interacción entre las partículas, ${displaystyle S(q)simeq 1}$ para valores altos de ${displaystyle q}$. Cuando ${displaystyle q}$ es pequeño, es decir, se examina el sistema sobre distancias mayores, el factor de estructura está relacionado con la compresibilidad isoterma del líquido ${displaystyle chi _{T}}$ mediante la ecuación:^[5]​

${displaystyle lim _{q ightarrow 0}S(q)= ho kTchi _{T}=kTleft({frac {partial ho }{partial p}} ight)}$

donde ${displaystyle ho }$ es la densidad del líquido, y ${displaystyle p}$ es la presión.

En el modelo de esferas duras, las partículas conformantes de un líquido son esferas impenetrables de radio ${displaystyle R}$; por tanto, no experimentan ninguna interacción a distancias ${displaystyle r}$ mayores que ${displaystyle 2R}$. El potencial de interacción se describe matemáticamente así:

${displaystyle V(r)=leftlbrace {egin{array}{l l}infty ,&{ ext{para}},,r<2R\0,&{ ext{para}},,rgeq 2R\end{array}} ight.}$

La aproximación de Percus-Yevick resulta en una solución analítica para este modelo,^[6]​ que a pesar de su simplicidad, proporciona una buena descripción de varios sistemas, desde los metales líquidos^[7]​ hasta las suspensiones coloidales.^[8]​

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