Convolución

En matemáticas, y en particular análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de media móvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la función característica de un intervalo.

La convolución de ${displaystyle f,}$ y ${displaystyle g,}$ se denota ${displaystyle f*g,}$. Se define como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia ${displaystyle t}$.

${displaystyle (f*g)(t) {stackrel {mathrm {.} }{=}}int _{-infty }^{infty }f(eta )g(t-eta )deta }$

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t - η) no implique una violación en el rango. Cuando se usan estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando se ponen en juego estos dominios cero-extendidos o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que se presentará abajo.

Si ${displaystyle X}$ e ${displaystyle Y}$ son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.

Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

${displaystyle f[m]*g[m]=sum _{n}{f[n]g[m-n]},}$

Cuando se multiplican dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como se ha mencionado).

Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones.

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.

Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo se dispone de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función :${displaystyle x( au )*h(t- au ),}$ . Para ello, se dispone de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo ${displaystyle nt,}$, a la que se llamará ${displaystyle x[k],}$ y ${displaystyle h[n-k],}$ (donde n y k son enteros).El área es, por tanto,

${displaystyle y[n]=sum _{k=-infty }^{infty }tcdot x[k]cdot h[n-k]=tcdot {left[sum _{k=-infty }^{infty }x[k]cdot h[n-k] ight]}}$

La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo ${displaystyle t=1}$ :

${displaystyle y[n]=x[n]*h[n]=sum _{k=-infty }^{infty }x[k]cdot h[n-k]}$

Cuando una función ${displaystyle g_{T}}$ es periódica de período ${displaystyle T}$, entonces para aquellas funciones ${displaystyle f}$ para las que existe ${displaystyle f*g_{T}}$, su convolución es también periódica e igual a:

${displaystyle (f*g_{T})(t)equiv int _{t_{0}}^{t_{0}+T}left[sum _{k=-infty }^{infty }f( au +kT) ight]g_{T}(t- au ) d au ,,}$

donde ${displaystyle t_{0}}$ se escoge arbitrariamente. La suma bajo el integrando se denomina extensión periódica de la función ${displaystyle f}$. Si ${displaystyle g_{T}}$ es una extensión periódica de otra función ${displaystyle g}$, entonces ${displaystyle f*g_{T}}$ se denomina convolución circular, cíclica, o periódica de ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$.

Método para calcular la convolución circular:

[L >= L1 + L2-1]

Las propiedades de los diferentes operadores de convolución son las siguientes:

para todo número complejo ${displaystyle a}$.

donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia

donde ${displaystyle {mathcal {F}}}$ denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace.

A veces es útil ver a la convolución como un producto matricial. Sea ${displaystyle mathbf {x} }$ una función discreta de ${displaystyle m}$ elementos, sea ${displaystyle mathbf {h} }$ un sistema discreto de ${displaystyle n}$ elementos, y sea ${displaystyle mathbf {y} }$ la convolución de ambos, de ${ extstyle m+n-1}$ elementos: ${displaystyle mathbf {y} =mathbf {h} *mathbf {x} }$. Entonces se puede definir una matriz ${displaystyle mathbb {A} }$ (la matriz de convolución, que es una matriz de Toeplitz) tal que ${ extstyle mathbf {y} =mathbf {x} mathbb {A} }$:

${displaystyle mathbf {y} ={egin{pmatrix}y_{1} y_{2} y_{3} dots y_{m+n-1}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&dots &x_{m}end{pmatrix}}{egin{bmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3}&dots &h_{n}&0&dots &dots &dots &0\0&h_{1}&h_{2}&h_{3}&dots &h_{n}&0&dots &dots &0\0&0&h_{1}&h_{2}&h_{3}&dots &h_{n}&0&dots &0\vdots \0&dots &dots &dots &0&h_{1}&h_{2}&h_{3}&dots &h_{n}\end{bmatrix}}}$

Ejemplo:

${displaystyle {egin{bmatrix}1&2&3&1&0&0&0\0&1&2&3&1&0&0\0&0&1&2&3&1&0\0&0&0&1&2&3&1\end{bmatrix}}}$

Se puede observar cómo se añaden ceros a ambos lados. Esto se hace para poder igualar y así poder hacer la convolución. Esta técnica es conocida como rellenado con ceros.

Consiste en extender los espacios numéricos añadiendo valores nulos (ceros) en sus extremos antes de realizar una convolución. Puede ser en el espacio de origen o en el espectro de una señal. En este último caso se aumenta el dominio frecuencial de la magnitud de la señal pero no se mejora la resolución.

Si G es cierto grupo dotado de una medida m (por ejemplo, un grupo topológico localmente compacto Hausdorff con la Medida de Haar) y si f y g son funciones real -o complejo- valuadas y m-integrables de G, entonces se puede definir su convolución como

${displaystyle (f*g)(x)=int _{G}f(y)g(xy^{-1}),{ ext{d}}m(y),}$

En este caso también es posible dar, por ejemplo, un teorema de convolución, que sin embargo es mucho más difícil de presentar y que requiere de la teoría de la representación para estos tipos de grupos así como el Teorema de Peter-Weyl del análisis armónico. Es muy difícil hacer dichos cálculos sin más estructura, y los grupos de Lie son los marcos donde se deben hacer las cosas.