Función convexa

Función convexa nació en a.

En matemática, una función real es convexa en un intervalo (a,b), si la cuerda que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función.

Una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa si está definida sobre un conjunto convexo C y para cualesquiera dos puntos x, y miembros de C, y para cada t en [0,1], se cumple que:

${displaystyle f(tx+(1-t)y)leq tf(x)+(1-t)f(y).}$

En otras palabras, una función es convexa sí y solo si su epigrafo (el conjunto de puntos situados en o sobre el grafo) es un conjunto convexo.

Una función estrictamente convexa es aquella en que

${displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y),}$

para cualquier t en (0,1) y ${displaystyle x eq y.}$

Una función ${displaystyle f}$ es cóncava si la función ${displaystyle -f}$ es convexa.

Una función convexa f definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos menos en un conjunto numerable. Si C es cerrado, f puede no ser continuo en los puntos críticos o finales de C.

Una función es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo "C" si

para todo x e y en C. Esta condición es solo ligeramente más relajada que la de convexidad. En particular, una función continua que es punto-medio convexa será también convexa.

Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su derivada es monótonamente no-decreciente en ese intervalo.

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).

Una función doblemente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su segunda derivada es no negativa en ese intervalo; esto proporciona una prueba práctica para verificar convexidad. Si la segunda derivada es positiva, entonces es estrictamente convexa, pero la doble implicación no se cumple, como podemos ver por ejemplo en f(x) = x⁴.

En general, una función continua doblemente diferenciable de muchas variables es convexa en un conjunto convexo si y solo si su matriz Hessiana es definida positiva en el interior de ese conjunto convexo.

Cualquier mínimo local de una función convexa es también un mínimo absoluto. Una función estrictamente convexa tendrá a lo más un mínimo absoluto.

Para una función convexa f, los conjuntos de nivel {x | f(x) < a} y {x | f(x) ≤ a} con a ∈ R son conjuntos convexos. Sin embargo, una función cuyos conjuntos de nivel son conjuntos convexos puede no resultar ser convexa; una función de este tipo se llama función cuasi-convexa.

La inecuación de Jensen se aplica a toda función convexa f. Si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria que toma valores en el dominio de f, entonces ${displaystyle Ef(X)geq f(EX).}$ (Aquí ${displaystyle E}$ denota la esperanza matemática.)

El siguiente teorema generaliza un resultado bien conocido en ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$ a cualquier espacio normado sea de dimensión finita o infinita:

(Condición necesaria de mínimo local) Sea ${displaystyle J:U o mathbb {R} }$ una función definida sobre un conjunto convexo ${displaystyle U,}$ de un espacio vectorial normado. Si el punto ${displaystyle uin U}$ es un mínimo local de la función y si la función ${displaystyle J:U o mathbb {R} }$ es diferenciable (en sentido de Fréchet) en el entorno de dicho punto, entonces

${displaystyle mathrm {D} J(u)(v-u)geq 0,qquad forall :vin U}$

La desigualdad anterior se denimina desigualdad de Euler.

El teorema anterior es válido para cualquier función sea convexa o no, mientras que el siguiente es válido solo para funciones convexas:

(Convexidad y derivada) Sea ${displaystyle J:U o mathbb {R} }$ una función definida sobre un conjunto convexo ${displaystyle U,}$ de un espacio normado, entonces:

El significado geométrico del teorema anterior es claro, el teorema implica simplemente que la función en todo punto está por encima del plano tangente en un punto. El siguiente teorema es válido para funciones convexas que son dos veces diferenciables (y por tanto admiten una forma bilineal que generaliza la matriz hessiana):

(Convexidad y segunda derivada) Sea ${displaystyle J:U o mathbb {R} }$ una función definida sobre un conjunto convexo ${displaystyle U,}$ de un espacio normado y que sea dos veces diferenciable, entonces:

Nótese que en este último caso el recíproco de la afirmación b) no es cierto en general, por ejemplo considérese ${displaystyle U=mathbb {R} , J(u)=u^{4}}$ cuya segunda derivada en el origen se anula y, sin embargo, la función sigue siendo estrictamente convexa.

El último teorema impone restricciones sobre el número de mínimos que puede tener una función convexa y su naturaleza:

(mínimos de funciones convexas) Sea ${displaystyle J:U o mathbb {R} }$ una función definida sobre un conjunto convexo ${displaystyle U,}$ de un espacio normado, entonces: