Función escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario o de causalidad a la derecha del cero, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:^[1]​^[2]​^[3]​

que se define de esta forma:

En ocasiones esta función suele denotarse por ${displaystyle H(x)}$.

Esta función tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor ${displaystyle H(0)}$, que es convencional. La mayoría de autores lo definen como ${displaystyle H(0)=1}$, otros ${displaystyle H(0)=0}$. Algunos que lo definen como ${displaystyle H(0)=1/2}$, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para ${displaystyle H(0)}$, de la siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la función escalón, se puede usar la función logística

donde una ${displaystyle k}$ más grande corresponde a una transición más afilada en ${displaystyle x=0}$. Si tomamos ${displaystyle H(0)=1/2}$, la igualdad se establece en el límite:

Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función escalón.^[4]​ Entre las posibilidades están:

Estos límites se mantienen para todo punto^[5]​ así como en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para todo punto.^[6]​

en general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad común: distribución logística, de Cauchy y normal, respectivamente.

Se trata de la sucesión entera u : Z → {0, 1} definida por^[7]​

La función escalón se emplea con frecuencia en procesamiento de señales, para describir el comportamiento de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La respuesta al escalón s_n se define como la salida de un sistema excitado por un escalón ${displaystyle u_{n}}$. Puede demostrarse que la respuesta impulsiva ${displaystyle h_{n}}$ del sistema LTI se calcula a partir de la respuesta al escalón, denotada por ${displaystyle s_{n}}$, de la siguiente manera^[7]​