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Grupo resoluble



En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos tal que:

donde para cada se cumple que:

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos y . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

El grupo es soluble si existe tal que .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo y un subgrupo normal , se tiene que es abeliano si y solo si .

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.[1]




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