Teoría de Galois

En matemáticas, la teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos que, gracias a este desarrollo, pueden reducirse a problemas más sencillos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe su nombre al matemático francés Évariste Galois.^{[cita requerida]}

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:

El teorema de Abel-Ruffini, que es parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no solo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones pueden expresarse mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.

Además, la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:

Si tenemos un polinomio, puede suceder que algunas de sus raíces estén relacionadas mediante varias ecuaciones algebraicas, que cumplan dichas raíces. Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A² + 5B³ = 7 sea cierta. La idea central de la teoría de Galois es el considerar aquellas permutaciones (o arreglos) de las raíces que tengan la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas sea satisfecha también tras la permutación o el arreglo. Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. (Se pueden especificar ciertos cuerpos para los coeficientes, pero en los ejemplos siguientes se utilizan los números racionales.)^{[cita requerida]}

El conjunto de tales permutaciones formarán un grupo de permutaciones, también llamado grupo de Galois del polinomio (sobre los números racionales). Ejemplos:

Sea la ecuación cuadrática

Mediante el uso de la fórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son

Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son

En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.

Puede concluirse que el grupo de Galois del polinomio ${displaystyle x^{2}-4x+1}$ consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y B invariantes, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.

Podría plantearse la objeción de que existe esta otra ecuación satisfecha por A y B:

pero que no es cierta cuando se intercambian los papeles. Sin embargo, hay que observar que no importa, pues sus coeficientes no son racionales; ${displaystyle {sqrt {3}}}$ es irracional.

De forma parecida, es posible hablar de cualquier polinomio cuadrático ${displaystyle ax^{2}+bx+c}$, donde a, b y c son números racionales.

Considérese el siguiente polinomio:

que puede escribirse también como:

Se desea describir el grupo de Galois de este polinomio, nuevamente sobre el cuerpo de los números racionales. El polinomio tiene cuatro raíces:

Existen 4! = 24 maneras de permutar estas cuatro raíces, pero no todas estas permutaciones son miembros del grupo de Galois. Los miembros del grupo de Galois debe preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales A, B, C y D. Una de dichas ecuaciones es, por ejemplo:

Ya que, puesto que

la permutación

no está permitida, porque transforma la ecuación válida A + D = 0 en la ecuación inválida A + C = ${displaystyle 2surd 3}$.

Otra ecuación que las raíces satisfacen es:

Esto excluiría más permutaciones, como por ejemplo:

Continuando de esta manera, es posible encontrar que las únicas permutaciones que satisfacen las dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:

y, por tanto, el grupo de Galois es isomorfo al grupo de Klein.^{[cita requerida]}

Se dice que una raíz α se puede expresar en radicales si α es elemento de un cuerpo K tal que ${displaystyle F=K_{0}subset K_{1}subset cdots subset K_{s}=K}$ donde ${displaystyle K_{i+1}=K_{i}({sqrt[{n_{i}}]{a_{i}}}),exists ,a_{i}in K_{i},i=0,1,ldots ,s-i}$. Una ecuación polinomial es soluble por radicales si todas sus raíces se pueden expresar en radicales.^[1]​ Con la teoría de Galois, es posible derivar el siguiente teorema:

El polinomio f(x) (en el cuerpo F) es soluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es soluble.^[2]​

El problema inverso de Galois plantea si todo grupo finito puede ser el grupo de Galois de alguna extensión de los números racionales. Este problema, propuesto inicialmente en el siglo XIX por Hilbert, permanece sin resolver.^[3]​