Grupo soluble

En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos ${displaystyle {G_{i}}_{i=1}^{n}subset G}$ tal que:

donde para cada ${displaystyle i=0,1,dots ,n-1}$ se cumple que:

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos ${displaystyle G^{(0)}=G}$ y ${displaystyle G^{(i+1)}=[G_{i},G_{i}]}$. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

El grupo es soluble si existe ${displaystyle nin mathbb {N} }$ tal que ${displaystyle G^{(n)}={1_{G}}}$.

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo ${displaystyle J}$ y un subgrupo normal ${displaystyle Nvartriangleleft J}$, se tiene que ${displaystyle J/N}$ es abeliano si y solo si ${displaystyle [J,J]subseteq N}$.

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.^[1]​

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