Inmersión (matemáticas)

En matemáticas, una inmersión es una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables cuya derivada es inyectiva en todo punto. Explícitamente, f : M → N es una inmersión si:

${displaystyle D_{p}f:T_{p}M o T_{f(p)}N,}$

es una función inyectiva en cada punto p de M (donde la notación T_pX representa el espacio tangente de X en el punto p). Equivalentemente, f es una inmersión si su derivada tiene rango constante e igual a la dimensión de M:

${displaystyle operatorname {rank} ,D_{p}f=dim M}$

La propia función f no necesariamente debe ser inyectiva, sólo su derivada.

Un concepto relacionado es el de incubamiento (embedding). Un incubamiento es una inmersión inyectiva f : M → N que también es un incubamiento topológico, de tal manera que M es difeomórfica con su imagen en N. Una inmersión es claramente un incubamietno local, es decir, para un punto x ∈ M existe una vecinidad, U ⊂ M, de x tal que f: U → N es un incubamiento, y recíprocamente un incubamiento local es una inmersión. Para variedades de dimensión infinita, esto a veces se toma como la definición de inmersión.^[1]​

Si M es compacto, una inmersión inyectiva es un incubamiento, pero si M no es compacto entonces las inmersiones inyectivas no son necesariamiente incubamientos, análogamente a la relación que existe entre biyecciones continuas y homeomorfismos.

Una homotopía regular entre dos inmersiones f y g de una variedad M a otra variedad N se define como una aplicación diferenciable H : M × [0,1] → N al que para todo t in [0, 1] la función H_t: M → N definida por H_t(x) = H(x, t) para todo x ∈ M es una inmersión, con H₀ = f, H₁ = g. Una homotopía regular es por tanto una homotopía de inmersiones.

Hassler Whitney inició el estudio sistemático de las inmersiones y las homotopías regulares en los años 1940, y demostró que para 2m < n+1 toda aplicación f: M^m → Nⁿ de una variedad m-dimensional a una variedad n-dimensional es homotópica con una inmersión, y de hecho lo es a un incubamiento para 2m < n; estos dos resultados constituyen el teorema de inmersión de Whitney y el teorema de incubamiento de Whitney.

Stephen Smale expresó las clases de inmersión de homotopías regulares f : M^m → Rⁿ como los grupos de homotopía de una variedad de Stiefel. La eversión de la esfera es un consecuencia particularmente notable de este hecho. Morris Hirsch generalizó la expresión de Smale a una descripción en el marco de la teoría de la homotopía de las clases de homotopía regular de inmersiones de variedades m-dimensionales M^m en variedades n-dimensionales. La clasificación de Hirsch-Smale de las inmersiones fue generalizadas más aún por Mikhail Gromov.

El obstáculo principal para la existencia de una inmersión i : M^m → Rⁿ es el fibrado normal estable de M, como es exhibido por sus clases características, particularmente sus clases de Stiefel-Whitney. Es decir, puesto que ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ es paralelizable, el pullback de su fibrado tangente a M es trivial, puesto que este pullback es la suma directa del fibrado tangente (intrínsecamente definido) TM, que tiene dimensión m, y del fibrado normal ν de la inmersión i, que tiene dimensión n-m.