Integral de Gauss

En matemáticas, la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es la integral impropia de la función gaussiana ${displaystyle f(x)=e^{{-x}^{2}}}$ sobre toda la recta de los números reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es:

Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier. También aparece en la definición de la función error. A pesar de que no existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana no puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para

pero sí es posible evaluar la integral definida

La forma más común de calcular la integral de Gauss es mediante integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera:

Se define

como la integral que queremos calcular. Podemos definir ${displaystyle {mathcal {I}}^{2}}$ como el producto de la integral ${displaystyle {mathcal {I}}}$ con ella misma y mediante el Teorema de Fubini podemos expresar la integral como

Procedemos a realizar un cambio de variables a coordenadas a polares:

donde el factor ${displaystyle r}$ es consecuencia de calcular el determinante del cambio de variable de coordenadas cartesianas a polares, y ${displaystyle s}$ aparece al hacer un cambio de variable tal que ${displaystyle s=-r^{2}}$, ${displaystyle ds=-2rdr}$. Así obtenemos

por lo tanto

Una técnica diferente para calcular el valor de la integral gaussiana es la siguiente.

Comencemos definiendo

por lo que

Notemos que el integrando, es decir ${displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$, es una función par por lo que

entonces

Sea

entonces

Por lo tanto

La función gamma está dada por

y un resultado destacado de esta función es cuando ${displaystyle alpha =1/2}$ pues

considerando este resultado veamos qué relación tiene con la integral gaussiana, comencemos considerando que

pues ${displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ una función par.

Al hacer el cambio de variable ${displaystyle t=x^{2}}$ obtenemos

entonces

Esto muestra por qué el factorial de la mitad de un entero es un número irracional múltiplo de ${displaystyle {sqrt {pi }}}$, más generalmente

La integral de una función Gaussiana arbitraria es

con ${displaystyle a,bin mathbb {R} }$. Una forma alternativa es

Esta expresión es útil para calcular momentos de algunas distribuciones de probabilidad continuas relacionadas con la distribución normal, como la distribución log-normal.

donde ${displaystyle n}$ es un entero positivo y ${displaystyle !!}$ denota el doble factorial.