Distribución log-normal

En probabilidad y estadística, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces ${displaystyle operatorname {exp} (X)}$ tiene una distribución log-normal, es decir ${displaystyle e^{X}sim operatorname {Lognormal} (mu _{x},sigma _{x}^{2})}$.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal o distribución de Tinaut.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

Una variable aleatoria positiva ${displaystyle X}$ tiene una distribución lognormal con parámetros ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle sigma }$ y escribimos ${displaystyle Xsim operatorname {Lognormal} (mu ,sigma ^{2})}$, si el logaritmo natural de ${displaystyle X}$ sigue una distribución normal con media ${displaystyle mu }$ y varianza ${displaystyle sigma ^{2}}$, esto es

Sean ${displaystyle Phi }$ y ${displaystyle phi }$ las funciones de distribución acumulada y de densidad de una normal estándar ${displaystyle N(0,1)}$ entonces

La función de distribución acumulada es

donde ${displaystyle Phi }$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar ${displaystyle N(0,1)}$.

La expresión anterior también puede ser escrita como

Si${displaystyle {oldsymbol {X}}sim N({oldsymbol {mu }},{oldsymbol {Sigma }})}$ es una distribución normal multivariada entonces ${displaystyle {oldsymbol {Y}}=exp({oldsymbol {X}})}$ tiene una distribución lognormal multivariante con media

y matriz de covarianza

Si ${displaystyle Xsim operatorname {Lognormal} (mu ,sigma ^{2})}$ entonces la variable aleatoria ${displaystyle X}$ cumple algunas propiedades.

La media de ${displaystyle X}$ es

La varianza de ${displaystyle X}$ es

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a ${displaystyle exp(mu )}$ y la desviación estándar geométrica es igual a ${displaystyle exp(sigma )}$.

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Donde la media geométrica ${displaystyle mu _{mathrm {geo} }=exp(mu )}$ y la desviación estándar geométrica ${displaystyle sigma _{mathrm {geo} }=exp(sigma )}$

Los primeros momentos son:

o de forma general:

Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle sigma ^{2}}$, podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que

donde ${displaystyle varphi }$ denota la función de densidad de la distribución normal ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2})}$ entonces la función logarítmica de verosimilitud es

Dado que el primer término es constante respecto a ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle sigma }$, ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, ${displaystyle {mathcal {L}}}$ y ${displaystyle {mathcal {L}}_{N}}$, obtienen su máximo con el mismo ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle sigma }$, por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones ${displaystyle ln x_{1},ln x_{2},dots ,ln x_{n}}$

Para una ${displaystyle n}$ finita, estos estimadores son in sesgados.

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos: