En matemáticas, un ladrillo de Euler, nombrado así en recuerdo de Leonhard Euler, es un ortoedro cuyas aristas y diagonales de cara tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es aquel cuyas longitudes de arista son números primos entre sí.
La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución para el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas:
donde a, b, c son las aristas y d, e, f son las diagonales.
El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene los bordes (a, b, c) = (44, 117, 240) y las diagonales de cara (d, e, f ) = (125, 244, 267).
Algunas otras soluciones primitivas pequeñas, dadas según sus aristas (a, b, c) y sus diagonales de cara (d, e, f), figuran a continuación:
Euler encontró al menos dos ecuaciones paramétricas para el problema, pero ninguna da todas las soluciones.
Se puede generar una infinidad de bloques de Euler con la ecuación paramétrica de Sounderson. Sean (u, v, w) una terna pitagórica (es decir, u2 + v2 = w2). Entonces:105 las aristas
dan las diagonales de cara
Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como los anteriores, por ejemplo, el ladrillo de Euler con los bordes (a, b, c) = (240, 252, 275) y las diagonales de cara (d, e, f ) = (348, 365, 373).
Un "cuboide perfecto" (también llamado "ladrillo perfecto de Euler" o "caja perfecta") además posee una diagonal espacial que también tiene una longitud entera. En otras palabras, la siguiente ecuación se agrega al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:
donde g es la diagonal espacial. A mayo de 2018, no se ha encontrado ningún ejemplo de cuboide perfecto y nadie ha demostrado que no exista ninguno.
Las exhaustivas búsquedas por computadora muestran que, en caso de que existiese un paralelepípedo perfecto:
Se conocen algunos hechos sobre propiedades que deben ser satisfechas por un cuboide perfecto primitivo, si existe, basados en la aritmética modular:
En adición:
Se ha descubierto que hay 3 tipos de cuboides, denominados cuboides cuerpo, arista y cara. Cada tipo tiene una de las 7 longitudes irracionales, las otras 6 longitudes son racionales.
En el caso del cuboide cuerpo, la diagonal espacial g es irracional. Para el paralelepípedo arista, una de las aristas a, b, c es irracional. El cuboide cara tiene solo una de las diagonales faciales d, e, f irracional.
El cuboide cuerpo se conoce comúnmente como el "cuboide de Euler" en honor a Leonard Euler, quien investigó sobre este tipo de cuboide. También conocía los cuboides cara y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672).
Solo recientemente se conocen los cuboides en números complejos.
A septiembre de 2017, Randall L. Rathbun publicó los 155.151 cuboides que había encontrado con el borde entero más pequeño menor de 157.000.000.000: 56.575 eran cuboides de Euler (cuerpo), 15.449 eran paralelepípedos de arista con una longitud de arista en forma de número complejo, 30.081 eran paralelepípedos de arista, y 53.046 eran cuboides de cara.
Las soluciones más pequeñas para cada tipo de cuboide casi perfecto, dadas como aristas, diagonales de cara y la diagonal espacial (a, b, c, d, e, f, g):
Un paralelepípedo perfecto posee aristas, diagonales de cara y diagonales espaciales de longitud entera, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un cuboide perfecto es un caso especial de un paralelepípedo perfecto. En 2009, se hallaron docenas de paralelepípedos perfectos, respondiendo una pregunta abierta por Richard Guy. Un pequeño ejemplo tiene los bordes 271, 106 y 103, las diagonales de cara 101, 266, 255, 183, 312 y 323, y las diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272. Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares.
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