Matriz aleatoria

En teoría de la probabilidad y física matemática, una matriz aleatoria es una variable aleatoria en forma de matriz. Muchas propiedades importantes de sistemas físicos pueden representarse matemáticamente como problemas de matrices aleatorias, v.gr. sistemas caóticos o desordenados, sistemas cuánticos de muchos cuerpos, gravedad cuántica bidimensional, transiciones de fase en cromodinámica cuántica etc.

Históricamente, la Teoría de Matrices Aleatorias (RMT por sus siglas en inglés) fue utilizada por Wigner para modelar el Hamiltoniano de un sistema cuántico excitado complejo. La idea básica consistía en describir las propiedades estadísticas de dicho sistema (tales como las fluctuaciones en las resonancias de dispersión en núcleos pesados), a partir de un ensemble de matrices hamiltonianas con elementos aleatorios cuya única restricción era respetar las simetrías inherentes al problema específico. A saber:

En cada caso, los índices ${displaystyle mu , u in {1,dots ,N}}$ se refieren a alguna base del espacio de Hilbert correspondiente, cuya dimensión se considera después en el límite ${displaystyle Nlongrightarrow infty }$.

En términos generales, una matriz aleatoria es una función medible:

${displaystyle {mathcal {M}}:(Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )longrightarrow left(mathrm {Mat} (N,mathbb {K} ),{mathcal {B}},mu ight)}$

de un espacio de probabilidad al grupo lineal de orden ${displaystyle N}$sobre un campo ${displaystyle mathbb {K} }$ ( ${displaystyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {C} }$) dotado con la medida de Lebesgue. La terna ${displaystyle left(mathrm {Mat} (N,mathbb {K} ),{mathcal {B}},{hat {mu }}:=mathbb {P} circ {mathcal {M}}^{-1} ight)}$ es entonces un espacio de probabilidad. De satisfacerse las condiciones del teorema de Radon-Nikodým, la única función ${displaystyle f:mathrm {Mat} (N,mathbb {K} )longrightarrow mathbb {K} }$ integrable tal que:

${displaystyle {hat {mu }}(B)=int _{B}f,mathrm {d} mu ;;;;;forall Bin {mathcal {B}}}$

es la densidad de probabilidad de la matriz aleatoria.

Cuando la medida de probabilidad ${displaystyle {hat {mu }}}$ es preservada bajo la acción de un subgrupo ${displaystyle Gleq mathrm {GL} (N,mathbb {K} )}$ del grupo lineal general (dada por ${displaystyle Xmapsto A^{-1}XA;;;forall Ain G,;Xin mathrm {Mat} (N,mathbb {K} )}$), se dice que la matriz ${displaystyle {mathcal {M}}}$ es ${displaystyle G-}$invariante. Los ensembles clásicos se conforman por todas aquellas matrices aleatorias que son invariantes bajo los grupos clásicos de matrices ${displaystyle mathrm {O} (N),mathrm {U} (N),mathrm {USp} (2N')}$ (véase grupo lineal especial o grupo unitario especial). En estos casos, la densidad de probabilidad resulta ser Gaussiana:

${displaystyle f(X)=exp left[-a,mathrm {tr} left(X^{2} ight)+b,mathrm {tr} left(X ight)+c ight]}$

donde ${displaystyle a>0}$ y ${displaystyle b,cin mathbb {R} }$. Por esta razón, a los ensembles clásicos también se les llama Gaussianos: ${displaystyle { extrm {GOE}}(N),{ extrm {GUE}}(N),{ extrm {GSE}}(2N')}$, respectivamente.

Si ${displaystyle X}$ es una matriz aleatoria de un ensemble Gaussiano y ${displaystyle lambda _{1}leq cdots leq lambda _{N}:=max _{i=1,dots ,N}{lambda _{i}}}$ son sus eigenvalores ordenados de manera ascendente, entonces éstos tienen como densidad de probabilidad conjunta a la función:

${displaystyle varphi _{eta }(x_{1},dots ,x_{N})=C_{eta }prod _{1leq i<jleq N}left|x_{i}-x_{j} ight|^{eta }prod _{i=1}^{N}e^{-eta x_{i}^{2}/2}}$

donde ${displaystyle C_{eta }}$ es una constante de normalización y ${displaystyle eta in {1,2,4}}$ es el índice de Dyson correspondiente al ensemble Gaussiano particular: ortogonal, unitario o simpléctico, respectivamente. Esta función se anula para los eventos ${displaystyle {lambda _{i}=lambda _{j}}_{i eq j}}$, lo que se conoce como repulsión entre niveles. Ésta es de mayor intensidad conforme el índice de Dyson es mayor.

En el contexto de los experimentos nucleares, es difícil obtener información directamente de la función ${displaystyle varphi _{eta }}$. Típicamente, la comparación entre experimentación y teoría sobre las energías se hace ya sea con la función de correlación entre pares de niveles ${displaystyle lambda _{i}}$, o bien con la separación entre niveles contiguos.

Partiendo de la integración de ${displaystyle varphi _{1}}$ en el caso ${displaystyle N=2}$, suponiendo que las entradas independientes de ${displaystyle H_{mu u }}$ tienen varianza común ${displaystyle sigma ^{2}}$, y haciendo un cambio a coordenadas polares:

${displaystyle P_{1}(x_{1},x_{2}),mathrm {d} x_{1}mathrm {d} x_{2}={frac {r}{2pi cdot 4sigma ^{2}}}exp left(-{frac {r^{2}}{8sigma ^{2}}} ight),mathrm {d} r,mathrm {d} heta }$

Wigner pudo conjeturar, en 1957, que la distribución del espaciamiento ${displaystyle r}$ entre valores propios contiguos, según el ensemble en cuestión (descrito por ${displaystyle eta in {1,2,4}}$), tenía la forma:

${displaystyle W_{eta }(r)=A_{eta }r^{eta }exp left(-B_{eta }r^{2} ight)}$

donde ${displaystyle A_{eta },B_{eta }}$ son constantes y ${displaystyle r}$ está expresado en múltiplos del espaciamiento promedio ${displaystyle d}$. Éste, a su vez, está dado por el recíproco de la densidad de niveles promedio ${displaystyle ho = ho (x)}$, que describe la proporción de los ${displaystyle N}$ valores propios en una región ${displaystyle y}$:

${displaystyle lim _{N o infty }{frac {mathbb {E} (S)}{N}}={frac {1}{2pi sigma ^{2}}}int _{alpha }^{eta }{sqrt {4sigma ^{2}-y^{2}}},mathbf {1} _{{|y|<2sigma }},mathrm {d} y}$

donde ${displaystyle S=S_{(alpha ,eta )}(H_{mu u })}$ es el número de valores propios de ${displaystyle H_{mu u }}$ en el intervalo ${displaystyle (alpha {sqrt {N}},eta {sqrt {N}})}$ (con ${displaystyle alpha <eta }$) y ${displaystyle mathbf {1} _{{|y|<2sigma }},}$indica que los valores propios ${displaystyle lambda _{i}}$ tienen una densidad de soporte compacto, con forma semicircular.