Grupo lineal especial

En matemáticas, el grupo lineal especial de orden n sobre un cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$ es el grupo de matrices n×n con determinante igual a 1, con las operaciones de multiplicación de matrices. Este grupo se denota como:

${displaystyle operatorname {SL} _{n}(mathbb {F} ) {mbox{o}} operatorname {SL} (n,mathbb {F} ) {mbox{o}} operatorname {SL} (n)}$

La última forma se usa cuando el cuerpo sobre el que se define el grupo está totalmente claro y no necesita ser especificado. Usualmente ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$ es ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle scriptstyle mathbb {C} }$. Las letras SL se toman del nombre inglés Special Linear.

El grupo especial lineal es el subgrupo normal del grupo lineal general, dado por el núcleo de la función determinante:

${displaystyle det colon operatorname {GL} _{n}(mathbb {F} ) o mathbb {F} ^{ imes }.}$

donde:

El grupo lineal especial constituye además una subvariedad algebraica del grupo lineal general (de hecho sus elemtnso satisfacen una ecuación polinómica, puesto que el determinante es una función polinómica de las componententes de la matriz).

El grupo lineal especial SL(n, R) puede caracterizarse como el grupo de transformaciones lineales que preserva el volumen y la orientación del espacio euclídeo Rⁿ; esto corresponde a la interpretación del determinante como medida del cambio de volumen y orientación.

Cuando ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$ es ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle scriptstyle mathbb {C} }$, SL(n) es un subrupo de Lie de GL(n) de dimensión n²−1. El álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {sl}}_{n}}$ de SL(n) está formada por todas las matrices n×n matrices con componentes en ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$ y cuya traza es nula. El paréntesis de Lie viene dado por el conmutador de matrices.

Cualquier matriz invertible puede representarse de manera única según la descomposición polar como el producto de una matriz unitaria y una matriz hermítica con autovalores positivos. El determinante de una matriz unitaria está sobre el círculo unidad del plano complejo, mientas que el de una matriz hermítica es un número real y positivo, y puesto que en el caso de una matriz del grupo lineal especial el producto de ambos debe ser 1. Cada uno de las dos matrices que intervienen en esa descomposición polar debe tener determinante igual a 1, y por tanto un elemento del grupo lineal especial se puede escribir unívocamente como el producto de una matriz unitaria especial y una matriz hermítica positiva de determinante 1.

Eso lleva a que la topología del grupo SL(n, C) es la topología producto de la topología del grupo SU(n) y la topología del grupo de matrices hermíticas de determinante 1. Dado que una matriz hermítica de determinante unidad y autovalores positivos puede expresarse como la exponencial de una matriz de una matriz hermítica de traza nula, resulta que la topología es la del espacio euclídeo de dimensión n²−1.

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