Medida de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto fractal.

La medida fue introducida hacia 1917 por Felix Hausdorff, aunque fue estudiada mucho más extensivamente por Abram Besicovitch, a quien se deben la mayoría de los resultados teóricos y teoremas concernientes tanto a la medida de Hausdorff como a la dimensión fractal.

Sea ${displaystyle scriptstyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$ un conjunto no vacío. El diámetro de ${displaystyle scriptstyle U}$ se define como

${displaystyle |U|=sup{|x-y|:x,yin U}}$

Sea ahora ${displaystyle I,}$ un conjunto arbitrario de índices. La colección ${displaystyle {U_{i}}_{iin I}}$ se denomina ${displaystyle delta }$-recubrimiento de ${displaystyle F,}$ si:

Sea ${displaystyle Fsubset mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle s}$ un número no negativo. Para cualquier ${displaystyle delta >0}$ se define:

${displaystyle {mathcal {H}}_{delta }^{s}(F)=inf left{sum _{i=1}^{infty }|U_{i}|^{s} ight}}$

en donde el ínfimo se toma sobre todos los ${displaystyle delta }$-recubrimientos numerables de ${displaystyle F}$. Es posible verificar que ${displaystyle {mathcal {H}}_{delta }^{s}}$ es de hecho una medida exterior en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

La medida exterior ${displaystyle s}$-dimensional de Hausdorff del conjunto ${displaystyle F}$ se define como el valor:

${displaystyle {mathcal {H}}^{s}(F)=displaystyle lim _{delta ightarrow 0}{mathcal {H}}_{delta }^{s}(F)}$

Este límite existe, sin embargo, como ${displaystyle {mathcal {H}}_{delta }^{s}}$ crece cuando ${displaystyle delta }$ decrece, puede ser infinito.

Es fácil ver que ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}}$ es una medida exterior, así que, por el Teorema de Carathéodory, la restricción de ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}}$ a los conjuntos ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}}$-medibles es de hecho una medida, llamada medida s-dimensional de Hausdorff.

La medida de Hausdorff generaliza la idea de longitud, área y volumen. La medida de dimensión cero cuenta el número de puntos en un conjuntos si el conjunto es finito, o es infinita si el conjunto lo es. La medida unidimensional mide la longitud de una curva suave en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. La medida bidimensional de un conjunto en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ es proporcional a su área y análogamente la medida tridimensional de un conjunto en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ es proporcional a su volumen.

Para todo conjunto ${displaystyle Fsubset mathbb {R} ^{n}}$ existe ${displaystyle s_{o}leq n}$ con la propiedad: ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}(F)=left{{egin{array}{rcl}infty &{ extrm {para}}&s<s_{o}\0&{ extrm {para}}&s>s_{0}end{array}} ight.}$

Un gráfico de ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}}$ en función de ${displaystyle s}$ (ver figura) muestra que existe un valor crítico de ${displaystyle s}$ en el cual ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}}$ cambia súbitamente de ${displaystyle infty }$ a ${displaystyle 0}$.

El comportamiento de ${displaystyle {mathcal {H}}^{s}(F)}$ puede explicarse de la siguiente manera: Se cubre el conjunto ${displaystyle F}$ con infinitos conjuntos de diámetro pequeño ${displaystyle delta ightarrow 0}$ y se calcula la suma de dichos diámetros elevados a la ${displaystyle s}$-ésima potencia. Si ${displaystyle s}$ es pequeño, dichas potencias tienden a ${displaystyle 1}$ lo cual produce que la suma diverja. Si ${displaystyle s}$ es grande, las ${displaystyle s}$-ésimas potencias tienen a cero y la suma tiende a anularse.

La dimensión de Hausdorff se define como:

${displaystyle { ext{dim}}_{H}(F):=sup{s:{mathcal {H}}^{s}(F)=infty }:=inf{s:{mathcal {H}}^{s}(F)=0}}$

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch siendo similar numéricamente a otras dimensiones fractales, en general resulta no mayor que todas ellas, siendo para la mayoría de fractales clásicos coincidente con el resto de dimensiones fractales (generalmente más sencillas de calcular). De hecho ha podido demostrarse la siguiente cadena de desigualdades:

${displaystyle D_{T}leq D_{HB}leq D_{MB}leq D_{E}leq D_{C},}$

Donde:

La primera desigualdad ${displaystyle scriptstyle D_{T} leq D_{HB}}$ se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales resultados de la geometría fractal.^[1]​