Modelo de Bohr

El modelo atómico de Bohr^[1]​ es un modelo clásico del átomo, pero fue el primer modelo atómico en el que se introduce una cuantización a partir de ciertos postulados. Dado que la cuantización del momento es introducida en forma adecuada (ad hoc), el modelo puede considerarse transaccional en cuanto a que se ubica entre la mecánica clásica y la cuántica. Fue propuesto en 1911 por el físico danés Niels Bohr,^[2]​ para explicar cómo los electrones pueden tener órbitas estables alrededor del núcleo y por qué los átomos presentaban espectros de emisión característicos (dos problemas que eran ignorados en el modelo previo de Rutherford). Además, el modelo de Bohr incorporaba ideas tomadas del efecto fotoeléctrico, explicado por Albert Einstein.

Bohr intentaba hacer un modelo atómico capaz de explicar la estabilidad de la materia y los espectros de emisión y absorción discretos que se observan en los gases. Describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón. El modelo atómico de Bohr partía conceptualmente del modelo atómico de Rutherford y de las incipientes ideas sobre cuantización que habían surgido unos años antes con las investigaciones de Max Planck y Albert Einstein.

En este modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo, ocupando la órbita de menor energía posible, o la órbita más cercana posible al núcleo. El electromagnetismo clásico predecía que una partícula cargada moviéndose de forma circular emitiría energía por lo que los electrones deberían colapsar sobre el núcleo en breves instantes de tiempo. Para superar este problema Bohr supuso que los electrones solamente se podían mover en órbitas específicas, cada una de las cuales caracterizada por su nivel energético. Cada órbita puede entonces identificarse mediante un número entero n que toma valores desde 1 en adelante. Este número "n" recibe el nombre de número cuántico principal.

Bohr supuso además que el momento angular de cada electrón estaba cuantizado y solo podía variar en fracciones enteras de la constante de Planck. De acuerdo al número cuántico principal calculó las distancias a las cuales se hallaba del núcleo cada una de las órbitas permitidas en el átomo de hidrógeno. Estos niveles en un principio estaban clasificados por letras que empezaban en la "K" y terminaban en la "Q". Posteriormente los niveles electrónicos se ordenaron por números. Cada órbita tiene electrones con distintos niveles de energía obtenida que después se tiene que liberar y por esa razón el electrón va saltando de una órbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energía que posea, para liberarse sin problema y de nuevo volver a su órbita de origen. Sin embargo no explicaba el espectro de estructura fina que podría ser explicado algunos años más tarde gracias al modelo atómico de Sommerfeld. Históricamente el desarrollo del modelo atómico de Bohr junto con la dualidad onda-corpúsculo permitiría a Erwin Schrödinger descubrir la ecuación fundamental de la mecánica cuántica.

En 1913, Niels Bohr desarrolló su célebre modelo atómico de acuerdo a tres postulados fundamentales:^[3]​

Los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo del átomo sin irradiar energía.

La causa de que el electrón no irradie energía en su órbita es, de momento, un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga con un movimiento acelerado debe emitir energía en forma de radiación.

Para mantener la órbita circular, la fuerza que experimenta el electrón —la fuerza coulombiana por la presencia del núcleo— debe ser igual a la fuerza centrípeta. Esto nos da la siguiente expresión:

${displaystyle k{Ze^{2} over r^{2}}={m_{e}v^{2} over r}}$

En la expresión anterior podemos despejar el radio, obteniendo:

${displaystyle r=k{Ze^{2} over m_{e}v^{2}}}$

Y ahora, con esta ecuación, y sabiendo que la energía total es la suma de las energías cinética y potencial:

${displaystyle E=T+V={1 over 2}m_{e}v^{2}-k{Ze^{2} over r}=-{1 over 2}{kZe^{2} over r}}$

Nota: a veces puede verse escrita en términos de la permitividad del vacío ${displaystyle k=1/4pi epsilon _{0}}$ , o en unidades electroestáticas de carga: k=1 .

Las únicas órbitas permitidas para un electrón son aquellas para las cuales el momento angular, ${displaystyle L}$, del electrón sea un múltiplo entero de ${displaystyle hbar ={h over 2pi }}$.

donde ${displaystyle h}$ es la constante de Plank, Esta condición matemáticamente se escribe:

${displaystyle L=m_{e}vr=nhbar }$

con ${displaystyle n=1,2,3,dots }$

A partir de esta condición y de la expresión para el radio obtenida antes, podemos sustituir ${displaystyle v}$ y queda la condición de cuantización para los radios permitidos:

${displaystyle r_{n}={n^{2}hbar ^{2} over km_{e}Ze^{2}}}$

con ${displaystyle n=1,2,3,dots }$; subíndice introducido en esta expresión para resaltar que el radio ahora es una magnitud discreta, a diferencia de lo que decía el primer postulado.

Ahora, dándole valores a ${displaystyle n}$, número cuántico principal, obtenemos los radios de las órbitas permitidas. Al primero de ellos (con n=1), se le llama radio de Bohr:

${displaystyle a_{0}={hbar ^{2} over km_{e}e^{2}}=0.529}$

expresando el resultado en ángstroms.

Del mismo modo podemos ahora sustituir los radios permitidos ${displaystyle r_{n}}$ en la expresión para la energía de la órbita y obtener así la energía correspondiente a cada nivel permitido:

${displaystyle E_{n}=-{1 over 2}{k^{2}m_{e}Z^{2}e^{4} over n^{2}hbar ^{2}}}$

Igual que antes, para el átomo de hidrógeno (Z=1) y el primer nivel permitido (n=1), obtenemos:

${displaystyle E_{0}=-{1 over 2}{k^{2}m_{e}e^{4} over hbar ^{2}}=-13.6{ ext{ eV}}}$

que es la llamada energía del estado fundamental del átomo de Hidrógeno. Y podemos expresar el resto de energías para cualquier Z y n como:

${displaystyle E_{n}={Z^{2} over n^{2}}E_{0}}$

Este postulado, sin embargo, es incompatible con la mecánica cuántica moderna porque (1) presupone que v y r (y el momento cinético) adquieren valores bien definidos, en contradicción con el principio de incertidumbre, y (2) atribuye al primer nivel un valor no nulo del momento cinético.

El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. Este fotón, según la ley de Planck tiene una energía:

${displaystyle E_{gamma }=h u =E_{n_{f}}-E_{n_{i}}}$

Entonces las frecuencias de los fotones emitidos o absorbidos en la transición serán:

${displaystyle u ={k^{2}m_{e}Z^{2}e^{4} over 2hhbar ^{2}}left({1 over n_{i}^{2}}-{1 over n_{f}^{2}} ight)}$

A veces, en vez de la frecuencia se suele dar la inversa de la longitud de onda:

${displaystyle {overline { u }}={1 over lambda }={k^{2}m_{e}Z^{2}e^{4} over 2hchbar ^{2}}left({1 over n_{i}^{2}}-{1 over n_{f}^{2}} ight)}$

Esta última expresión fue muy bien recibida porque explicaba teóricamente la fórmula fenomenológica hallada antes por Balmer para describir las líneas espectrales observadas desde finales del siglo XIX en la desexcitación del Hidrógeno, que venían dadas por:

${displaystyle {overline { u }}={1 over lambda }=R_{H}left({1 over 2^{2}}-{1 over n^{2}} ight)}$

Se puede demostrar que este conjunto de hipótesis corresponde a la hipótesis de que los electrones estables orbitando un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias. Un modelo atómico es una representación que describe las partes que tiene un átomo y como están dispuestas para formar un todo. Basándose en la constante de Planck ${displaystyle E=h u ,}$ consiguió cuantizar las órbitas observando las líneas del espectro.

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