Número p-ádico

Para cada número primo p, los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897. Fueron usados en la resolución de varios problemas en Teoría de números, a menudo con el principio local-global de Helmut Hasse , que dice, más o menos, que una ecuación puede resolverse en los números racionales si y sólo si se puede resolver en los números reales y en los números p-ádicos para todo primo p. El espacio Q_p de todos los números p-ádicos tiene la propiedad topológica, deseable, de completitud, que nos permite el desarrollo del Análisis p-ádico, similar al Análisis real.

Si fijamos un número primo p, entonces cualquier entero puede escribirse como una expansión p-ádica (que usualmente se dice que escribimos el número en "base p") de la forma:

donde los a_i son enteros en el conjunto {0,...,p-1}.

Por ejemplo, la "2-ádica" o expansión binaria de 35 es 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰, escrita a menudo en la notación más breve: 100011₂.

La forma familiar de generalizar esta descripción al dominio mayor de los racionales (y, finalmente, a los reales) es incluir sumas de la forma siguiente:

Usando la familiar métrica euclídea podemos dar un significado concreto a esas sumas y que se basa en las sucesiones de Cauchy. Así, por ejemplo, 1/3 se puede expresar en base 5 como el límite de la sucesión 0.1313131313...₅. En esta formulación los enteros son justo aquellos números que pueden ser representados de manera que a_i = 0 para todo i<0.

Como alternativa, si extendemos las expansiones p-ádicas permitiendo sumas infinitas de la forma ${displaystyle extstyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}p^{i}}$ donde k será cierto entero (no necesariamente positivo), obtenemos el cuerpo Q_p de los números p-ádicos. Los números p-ádicos para los cuales a_i = 0 para todo i<0 son llamados también enteros p-ádicos. Estos enteros p-ádicos forman un subanillo de Q_p denotado Z_p.

Podemos ver estos enteros, intuitivamente, como de cierta forma "opuesta" a la que se nos presenta con las expansiones p-ádicas que se extienden hacia la derecha, como sumas de potencias cada vez menores, negativas, de la base p (como hemos visto para los números reales que hemos descrito más arriba ), ya que esos enteros p-ádicos pueden tener expansiones p-ádicas hacia la izquierda de forma similar. Por ejemplo, la expansión p-ádica de 1/3 en base 5 es el límite de la sucesión ..31313132₅. Informalmente, podemos ver que multiplicando esta "suma infinita" por 3 en base 5 da ...0000001₅. Como en esta expansión de 1/3 no hay potencias negativas de 5 (esto es, no hay números a la derecha del la coma decimal), vemos que 1/3 es un entero p-ádico en base 5.

El principal problema técnico es el de definir una noción buena de suma infinita que dote de sentido a tales expresiones - que requiere la introducción de la noción de métrica p-ádica. Abajo presentaremos dos soluciones a este problema, diferentes pero equivalentes.

Los números reales se pueden definir como las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales; esto nos permite, por ejemplo, escribir, 1 como 1.000... = 0.999... . Sin embargo, la definición de una sucesión de Cauchy depende de la métrica elegida, y entonces, escogiendo una diferente, podremos construir otros números diferentes a los reales.

La métrica usual que nos da los reales es la métrica euclídea.

Para un primo p dado, definimos la métrica p-ádica en Q como sigue: para cualquier racional diferente de cero x, existe un entero único n que nos permite escribir x = pⁿ(a/b), donde ninguno de los enteros a o b son divisibles por p. A menos que el numerador o el denominador de x contenga un factor de p, n será 0. Ahora define |x| _p = p^-n. Y también |0| _p = 0. Por ejemplo, con x = 63/550 = 2^-1 3² 5^-2 7 11^-1

Esta definición de |x|_p tiene el efecto de que las potencias altas de p se hacen "pequeñas".

Se puede probar que toda norma sobre Q es equivalente bien a la norma euclídea o una de las normas p-ádicas para algún primo p. La norma p-ádica define una métrica _p sobre Q si elegimos que :${displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$. El cuerpo Q_p de los números p-ádicos se pueden definir entonces como la completitud del espacio métrico (Q, d_p); sus elementos son las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy. Diremos que dos sucesiones son equivalentes si su diferencia converge a cero. De ese modo obtenemos un espacio métrico completo que además es también un cuerpo que contiene a Q.

Se puede probar que en Q_p, cada elemento x puede escribirse de manera única como ${displaystyle extstyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}p^{i}}$ donde k es algún entero y cada a_i está en {0,...,p-1}. Esta serie converge a x respecto a la métrica d_p.