Potencial retardado

En electrodinámica, los potenciales retardados son potenciales electromagnéticos para el campo electromagnético generado por una corriente eléctrica o una distribución de carga en el pasado que varían en el tiempo. Los campos se propagan a la velocidad de la luz c, de modo que la relación causa-efecto que conecta a los campos a tiempos anteriores y posteriores es un factor importante. La señal requiere de un tiempo finito para propagarse desde un punto en la distribución de carga o la corriente (el punto de causa) hasta otro punto en el espacio (en donde se mide el efecto).^[1]​

Iniciamos de la formulación en potenciales de las ecuaciones de Maxwell usando el gauge de Lorenz:

donde φ(r,t) es el potencial eléctrico y A(r,t) es el potencial vectorial electromagnético, para una fuente arbitraria de densidad de carga ρ(r,t) y una densidad de corriente J(r,t), mientras que ${displaystyle Box }$ es el operador de D'Alembert. Al resolver estas ecuaciones se obtienen los potenciales retardados.

Para el caso de campos que dependen del tiempo, los potenciales retardados son:^[2]​^[3]​

donde r es un punto en el espacio, t es el tiempo,

es el tiempo retardado y d³r' indica que la integración se realiza sobre todo el espacio.

A partir de φ(r,t) y A(r,t), los campos E(r,t) y B(r,t) pueden calcularse usando la definición de los potenciales:

Esto conduce a las ecuaciones de Jefimenko. Los potenciales adelantados correspondientes tienen una forma idéntica, a excepción de que el tiempo adelantado,

reemplaza al tiempo retardado.

En el caso de que los campos no dependan del tiempo (campos electrostáticos y magnetostáticos) las derivadas con respecto al tiempo en los operadores ${displaystyle Box }$ son cero, y las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

donde ∇² es el operador laplaciano, que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (una para φ y tres para A). En este caso las soluciones son:

Estas se obtienen también directamente de los potenciales retardados.

En el gauge de Coulomb, las ecuaciones de Maxwell son:^[2]​

aunque las soluciones contrastan con las de arriba, puesto que A es un potencial retardado, aun así φ cambia instantáneamente, dado por:

Esto presenta una ventaja y una desventaja del gauge de Coulomb: φ es calculable fácilmente a partir de la distribución de carga ρ, pero A no se calcula tan sencillamente a partir de la distribución de corriente J. Sin embargo, debido a que necesitamos que los potenciales se anulen en infinito, pueden expresarse en términos de los campos:

Una teoría de muchos cuerpos que incluye un promedio de los potenciales de Liénard-Wiechert retardados y adelantados es la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, que también se conoce como teoría de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo.