Recta real extendida

En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, es un espacio métrico que se obtiene a partir de los números reales ${displaystyle {mathbb {R} }}$^[1]​ por la añadidura de dos elementos: ${displaystyle +infty }$ y ${displaystyle -infty }$ (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). A cada número real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un número real; por ello, se dice que los números reales completan la recta.^[1]​

La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: ${displaystyle infty }$ (punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.

La recta real extendida se denota por ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ o bien ${displaystyle [-infty ,+infty ]}$; es utilizada para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración.

Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo ${displaystyle +infty }$ se escribe simplemente ${displaystyle infty }$.

La necesidad de su definición, surge al describir el comportamiento de una función f(x), cuando o bien el argumento x o bien el valor de la función f(x) se vuelve «muy grande» en algún sentido.

Por ejemplo, la función ${displaystyle f(x)=x^{-2} }$.

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en f(x) = 0. Geométricamente, esto significa que conforme el valor de x crece (hacia la derecha del plano cartesiano), más se aproxima el valor de 1/x² a 0 (el eje horizontal). Este comportamiento al límite es similar al del límite de una función en un número real, excepto que ahí no hay número real hacia el cual x se aproxima.

Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a R, se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades topológicas similares a las de R.

En teoría de la medida, se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.

Tales medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una medida a R correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales no acotadas, como

surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como

Si no permitiesen valores infinitos a funciones, resultados tan esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.

La recta real extendida se vuelve un conjunto totalmente ordenado definiendo −∞ ≤ a ≤ +∞ para todo a. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un supremo y un ínfimo: conforma un retículo completo.

Esto induce un orden topológico sobre R. En esta topología, un conjunto U es una vecindad de +∞ si y solo si contiene un conjunto {x: x > a} para algún número real a, y análogamente para las vecindades de −∞. R es un espacio de Hausdorff compacto homeomorfo al intervalo unidad [0, 1]. Luego esta topología es metrizable, corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre R.

Con esta topología, se pueden definir especialmente los límites para x tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica de límites.

Las propiedades aritméticas de R pueden extenderse parcialmente a R del siguiente modo:

Aquí, "a + ∞" significan ambos "a + (+∞)" y "a − (−∞)", y "a − ∞" significan ambos "a − (+∞)" y "a + (−∞)".

Las expresiones ∞ − ∞, 0 × (±∞) y ±∞ / ±∞ (llamadas formas indeterminadas) son usualmente indefinidas a la izquierda. Son reglas modeladas por las leyes de los límites infinitos. No obstante, en el contexto de la probabilidad o teoría de la medida, 0 × (±∞) se define a menudo como 0.

La expresión 1/0 no se define ni como +∞ ni como −∞, porque aunque es cierto que cuando f(x) → 0 para una función continua f(x) debe suceder que 1/f(x) está eventualmente contenida en toda vecindad del conjunto {−∞, +∞}, no es cierto que 1/f(x) deben tender a uno de estos puntos. Un ejemplo es f(x) = sin(x)/x. Esto deja de suceder al aplicar el valor absoluto a la función, quedando 1/| f(x) |, en ese caso se aproxima a +∞.

Con las definiciones arriba expuestas, R no es un cuerpo ni un anillo, pero posee las siguientes propiedades:

En general, todas las leyes de la aritmética serán válidas en R siempre y cuando las expresiones que intervienen estén definidas.