Sección áurea
El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
Su valor numérico, mediante radicales o decimales es:
También se representa con la letra griega tau (Τ τ), por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alfa minúscula.
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874988…) y su recíproco (1/Φ = 0,61803398874988…) tienen las mismas infinitas cifras decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: . Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.
El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300 a. C-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) puede haber estudiado el número áureo; sin embargo, puede ser que se le atribuya el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:
En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.
La expresión mediante fracciones continuas es:
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.
Por ello se dice que es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.
Estas corresponden al hecho de que la diagonal de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. El teorema general dice que la expresión
donde , es igual a la mayor de las raíces de la ecuación o sea, .
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ; ; y , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático escocés Robert Simson.
Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186, 301, … Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1.6296296…; 71/44 = 1.613636…; 301/186 = 1.6182795.
A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semirregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides, en su proposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construcción:
Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:
con lo que resulta evidente que
de donde, finalmente,
Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.
De otra manera:
El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea.
El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.
Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab lo que implica:
Aparece el número de la justa razón entre los segmentos parciales de los lados de un pentágono estrellado.
El seno de 18º es la mitad del inverso del número de la justa razón.
El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.
Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos:
(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)
Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:
(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)
Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:
Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:
Otros investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.
No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.
Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.
En orden cronológico: