Espectro de un operador

El espectro de un operador es un conjunto de valores complejos que generaliza el concepto de valor propio (autovalor) a espacios vectoriales de dimensión infinita. El concepto es muy importante tanto en análisis funcional como en mecánica cuántica.

El estudio de los espectros de los operadores sobre un cierto espacio y sus propiedades se conoce como teoría espectral.

En dimensión finita, una aplicación lineal ${displaystyle L:mathbb {C} ^{n}longrightarrow mathbb {C} ^{n}}$, que fijada una base se representa por una matriz, siempre tiene algún valor propio ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ que sea solución de la siguiente ecuación:

${displaystyle L(mathbf {v} )=lambda mathbf {v} }$

Donde además debe cumplirse que ${displaystyle mathbf {v} eq mathbf {0} in mathbb {C} ^{n}}$. El conjunto de todos los valores ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ que satisface la ecuación anterior recibe el nombre de espectro puntual de la aplicación lineal L.

Sin embargo, cuando buscamos soluciones como la anterior para aplicaciones lineales (operadores) en espacios de dimensión infinita no siempre existe solución. Por ejemplo en el espacio de Hilbert ℓ² el "operador desplazamiento a la derecha" que viene dado por:

${displaystyle (x_{1},x_{2},dots )mapsto (0,x_{1},x_{2},dots )}$

carece de valores propios según la definición (1). Sin embargo, con la generalización del espectro puntual al más amplio concepto de espectro, puede probarse que todo operador lineal acotado en un espacio de Banach complejo tiene un espectro no vacío.

El espectro de un operador lineal A tiene que ver con la búsqueda de soluciones de la ecuación:

(1)${displaystyle Amathbf {u} =lambda mathbf {u} qquad {mbox{con}};mathbf {u} eq 0land lambda in mathbb {C} }$

La ecuación anterior se plantea normalmente en un espacio vectorial topológico y la razón por la cual se consideran valores complejos es que ${displaystyle mathbb {C} }$ es un cuerpo algebraicamente cerrado (a diferencia de ${displaystyle mathbb {R} }$ que no es algebraicamente cerrado). Las soluciones de (1) pueden relacionarse con las propiedades del operador resolvente dado por:

${displaystyle R_{lambda }=(A-lambda I)^{-1};}$

Los valores complejos para los cuales el operador anterior está bien definido y es acotado sobre un dominio denso se dice que pertenecen al conjunto resolvente. El complemento del conjunto resolvente, es decir, los valores para los que el operador resolvente presenta "problemas" por no estar definido, no ser acotado o no tener un dominio denso forman el espectro del operador.

Dado un operador acotado B, éste es invertible (i.e. tiene una operador inverso acotado), si y sólo si B está acotado inferiormente y tiene un conjunto imagen denso en el espacio sobre el espacio de Banach sobre el que está definido. El espectro, no vacío, de un operador acotado siempre puede dividirse en tres partes:

En dimensión finita, el espectro continuo y residual de un operador siempre son vacíos, y el espectro coincide así con el espectro puntual. Esa es la razón por la cual el concepto de espectro generaliza el de espectro puntual, cuando consideramos dimensión infinita.

Las siguientes tres secciones dan más detalles sobre las características de cada uno de estos tres subconjuntos del espectro de un operador.

Si el operador ${displaystyle (B-lambda I);}$ no es inyectivo para un cierto valor de ${displaystyle lambda ;}$, entonces claramente no es invertible. Los valores de ${displaystyle lambda ;}$ para los que sucede eso, forman el espectro puntual de B, denotado como ${displaystyle sigma _{p}(B);}$, claramente: ${displaystyle Psigma (B):=sigma _{p}(B)subseteq sigma (B)}$. Este espectro tiene algunas propiedades interesantes:

El espectro continuo, también llamado "espectro puntual aproximado" prestándose a malas interpretaciones. La razón de este otro nombre se debe a que cuando ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ pertenece al espectro continuo ${displaystyle sigma _{c}=Csigma ;}$, aunque no puede encontrarse un vector propio (propiamente dicho) puede construirse una sucesión de vectores casipropios tal que:

${displaystyle lim _{n o infty }|Bu_{n}-lambda u_{n}|=0}$

Ejemplo Considérese el operador T sobre ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {Z} )}$ definido por:

${displaystyle B(cdots ,a_{-1},{hat {a}}_{0},a_{1},cdots )=(cdots ,{hat {a}}_{-1},a_{0},a_{1},cdots )}$

Donde ˆ denota la posición cero. Un cálculo directo muestra que B no posee valores propios, por lo que su espectro puntual es vacío, pero cada λ, con |λ| = 1, tiene un vector aproximadamente propio; siendo u_n el vector:

${displaystyle u_{n}={frac {1}{sqrt {n}}}(dots ,0,1,lambda ,lambda ^{2},dots ,lambda ^{n-1},0,dots )}$

Entonces ||u_n|| = 1 para todo n pero:

${displaystyle |Bu_{n}-lambda u_{n}|={sqrt {frac {2}{n}}} o 0}$

De esto se sigue que B es un operador unitario cuyo espectro cae en el círculo unidad. Por tanto, el espectro continuo coincide con todo su espectro. Esto también es cierto para una clase muy general de operadores.

Un operador B puede ser acotado inferiormente y no invertible. Por ejemplo el operador de desplazamiento unilateral definido en ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {N} )}$, similar al definido en la sección anterior, es un ejemplo. Este operador es una isometría, por tanto está acotado inferiormente por 1. Pero no es invertible por no ser sobreyectivo. El conjunto de los valores para los cuales B - λI no tiene un conjunto imagen o rango denso se conoce espectro residual y se designa como, ${displaystyle sigma _{r}(B)=Rsigma (B);}$.

Algunos autores denominan espectro esencial a la unión del espectro continuo y el residual es decir:

${displaystyle sigma _{ess}=sigma _{c}cup sigma _{r}=sigma /sigma _{p}}$

Un operador acotado B sobre un espacio de Banach ${displaystyle {mathcal {B}}}$ es un operador tal que el siguiente máximo existe:

${displaystyle |B|=max _{|v|=1}|B(v)|}$

Sea ahora ${displaystyle {mathcal {B}}}$ un álgebra de Banach que contiene un elemento unidad I. En esas condiciones se define el espectro de un elemento ${displaystyle Bin {mathcal {B}}}$, denotado usualmente como ${displaystyle sigma (B);}$, consiste en todos aquellos ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ tales que el operador ${displaystyle B-lambda I;}$ no tiene inverso en ${displaystyle {mathcal {B}}}$.

Dado un espacio de Banach ${displaystyle (X,|cdot |);}$, entonces el conjunto de operadores acotados sobre este espacio, denotado como ${displaystyle {mathcal {B}}(X)}$, es de hecho un álgebra de Banach. Usualmente, la teoría espectral de operadores definidos en un cierto espacio de Banach trabaja con esta álgebra de Banach unitaria de operadores acotados.

El espectro de un operador acotado tiene las siguientes propiedades básicas:

${displaystyle r_{sigma }(B)=sup{|lambda |:lambda in sigma (B)}}$

${displaystyle r_{sigma }(B)=lim _{n o infty }|B^{n}|^{1/n}}$

La definición de espectro anterior puede ser extendida sin dificultad a operadores no acotados definidos en todo un espacio de Banach X. Procediendo de manera similar al caso de operadores acotados se introduce el conjunto resolvente del operador:

${displaystyle T:D(subset X)longrightarrow X}$

Cuyo resolvente está formado por todos los puntos del plano complejo ${displaystyle mathbb {C} }$ para los que el operador resolvente:

${displaystyle R_{lambda }:D(subset X)longrightarrow X,qquad R_{lambda }=T-lambda I_{X}}$

admite un operador inverso que sea acotado y que por tanto cumplirá:

${displaystyle Scirc R_{lambda }=I_{D},qquad R_{lambda }circ S=I_{X}}$

Análogamente al caso acotado se dice que un número complejo ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ pertenece al espectrum si no existe un operador acotado e inverso del resolvente, como el descrito más arriba. El espectro se puede clasificar de la misma manera que en el caso acotado.

El espectro de un operador no acotado es en general un conjunto cerrado, que puede ser vacío.

Consideremos el espacio de Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbb {R} )}$ y consideremos el operador autoadjunto u observable momento lineal de la mecánica cuántica:

${displaystyle Psi (x)mapsto {hat {P}}_{x}Psi (x)=-i{frac {d}{dx}}Psi (x)qquad {mathcal {D}}left(-i{frac {d}{dx}} ight)={Psi in L^{2}(mathbb {R} )|Psi 'in L^{2}(mathbb {R} )}}$

El espectro de este operador es puramente continuo, coincide con el eje real, es decir, todo valor real forma parte del espectro continuo:

${displaystyle sigma left(-i{frac {d}{dx}} ight)=Csigma left(-i{frac {d}{dx}} ight)=mathbb {R} }$

Para ver esto basta considerar la sucesión de vectores aproximadamente propios dada por:

${displaystyle Psi _{lambda }^{(n)}={sqrt {frac {2}{pi n}}}left({frac {n^{2}}{x^{2}+n^{2}}} ight)e^{ilambda x}qquad Rightarrow qquad lim _{n o infty }left|-i{frac {d}{dx}}Psi _{lambda }^{(n)}-lambda Psi _{lambda }^{(n)} ight|=0}$

En el mismo espacio de Hilbert anterior definimos el llamado operador posición de la mecánica cuántica y su dominio como:

${displaystyle Psi (x)mapsto {hat {X}}Psi (x)=xPsi (x)qquad {mathcal {D}}({hat {X}})={Psi in L^{2}(mathbb {R} )|xPsi (x)in L^{2}(mathbb {R} )}}$

Puede verse que al igual que el operador momento, su espectro es puramente continuo y coincide con el eje real, es decir, es posible encontrar una partícula libre en cualquier posición del espacio. Esto puede verse usando la sucesión de funciones:

${displaystyle Psi _{lambda }^{(n)}={sqrt {frac {n/pi }{n^{2}(x-lambda )^{2}+1}}}qquad Rightarrow qquad lim _{n o infty }|{hat {X}}Psi _{lambda }^{(n)}-lambda Psi _{lambda }^{(n)}|=0}$

El hamiltoniano de un oscilador armónico unidimensional puede representarse en el mismo espacio de Hilbert que los anteriores operadores:

${displaystyle Psi mapsto {hat {H}}Psi =-{frac {d^{2}}{dx^{2}}}Psi +x^{2}Psi }$

Este es un operador no acotado aunque su dominio es denso en el espacio L². Su espectro es puramente puntual y consta de los enteros impares positivos:

${displaystyle sigma _{p}({hat {H}})={1,3,5,7,dots }={nin mathbb {N} |n=2k+1,kin mathbb {N} }}$

En el espacio de Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}=l^{2}}$ de secuencias de números complejos de cuadrado sumable, se define la base de Hilbert:

${displaystyle {mathcal {B}}_{mathcal {H}}={Psi _{n}|Psi _{n}=(0,0,dots ,x_{n}=1,0,0,dots )}}$

Mediante la cual se definen los operadores creación ${displaystyle {hat {a}}^{dagger }}$ y destrucción ${displaystyle {hat {a}}}$ mediante las relaciones:

${displaystyle {hat {a}}Psi _{n}={sqrt {n}}Psi _{n-1},qquad qquad {hat {a}}^{dagger }Psi _{n}={sqrt {n+1}}Psi _{n+1}}$

Obviamente se trata de operadores no acotados definidos sólo sobre un dominio denso dado por:

${displaystyle {mathcal {D}}={mbox{dom}}({hat {a}})={mbox{dom}}({hat {a}}^{dagger })=left{xi =(x_{0},x_{1},x_{2},dots )|quad sum _{n}n|x_{n}|^{2} ight}}$

El espectro de estos operadores tiene las siguientes propiedades:

Curiosamente el espectro del operador número definido a partir de los anteriores como:

${displaystyle {hat {N}}={hat {a^{dagger }}}{hat {a}}}$

Es puramente puntual y coincide con los números enteros ${displaystyle sigma _{p}({hat {N}})=mathbb {Z} }$.

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