Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski, establece que cualquier valor absoluto no trivial sobre los números racionales Q es equivalente bien al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p-ádico.

Dos valores absolutos | | y | |^* sobre un cuerpo C se dice que son equivalentes si existe un número real ${displaystyle alpha >0}$ tal que

Se define el valor absoluto trivial sobre cualquier cuerpo C como

El valor absoluto real sobre Q es el valor absoluto normal sobre los números reales, y se define como

Para un número primo p, se define el valor absoluto p-ádico sobre Q como sigue: cualquier número racional x distinto de cero se puede expresar de forma única como ${displaystyle x=p^{n}{frac {a}{b}}}$, siendo a, b y p coprimos dos a dos y n entero (positivo, negativo o 0). Entonces

Otro teorema establece que un cuerpo arbitrario completo respecto del valor absoluto arquimediano es (algebraica y topológicamente) isomorfo a bien los números reales o bien los números complejos. Este teorema también se conoce como teorema de Ostrowski.