En Matemáticas, y con más exactitud en topología, la conjetura de Poincaré (también llamada hipótesis de Poincaré) es un resultado sobre la esfera cuatridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dejó de ser una conjetura para convertirse en un teorema tras su comprobación en 2003 por el matemático Grigori Perelman. El teorema sostiene que la esfera cuatridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta cuatridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que solo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3: la esfera cuatridimensional.
La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una banda elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es simplemente conexa.
El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad (homeomórfica) de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus homeomorfos).
Más técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la topología geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas.
Para dimensión dos ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta que el matemático ruso Grigori Perelmán hizo pública su demostración.
Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartían sus propiedades.
Grigori Perelmán resolvió la hipótesis de Poincaré. Justamente por resolver este problema, Perelmán había recibido en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel de las matemáticas, otro premio que también rechazó. La hipótesis de Poincaré, antes de ser probada, fue una de las cuestiones abiertas más importantes en topología. En 2000, se nombró como uno de los siete Problemas del Milenio, por los que el Instituto Clay de Matemáticas ofreció un premio de 1 millón de dólares a la primera solución correcta. El trabajo de Perelman sobrevivió a la revisión y fue confirmado en 2006, por lo que se le ofreció una Medalla Fields, que rechazó. Perelman recibió el Premio Millennium el 18 de marzo de 2010. El 1 de julio de 2010, rechazó el premio, diciendo que creía que su contribución para demostrar que la conjetura de Poincaré no era mayor que la de Hamilton. La conjetura de Poincaré es el único problema del Milenio resuelto.
El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue considerada uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute.
El matemático ruso Grigori Perelmán anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet.
El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares de Perelmán (estos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a Perelmán y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso "estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma".
Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelmán cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006), con sede en Madrid, en agosto de 2006. Perelmán no se presentó al Congreso de Madrid y rechazó la medalla. No concede entrevistas, salvo excepciones, como en un semanario estadounidense (The New Yorker), donde aseguró no querer ser una "mascota" en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro reconocimiento aparte de la validez de su trabajo.
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