Teorema de Riemann (series)

En matemáticas, el Teorema de Riemann sobre la reordenación de series convergentes, llamado así en honor al matemático alemán Riemann, dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser permutados de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario, o diverja.

La serie 1 – 1 + 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/3 + ... , por ejemplo, converge a 0, pero si se toma la serie en valor absoluto, es decir, reemplazando cada término con su valor absoluto, se obtiene la serie 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ... , que diverge. Por ello la serie original es condicionalmente convergente, y puede ser reordenada para dar una serie que converge a una suma diferente, como por ejemplo: 1 + 1/2 – 1 + 1/3 + 1/4 – 1/2 + ... = ln 2. En general, utilizando este procedimiento con p positivos seguido por q negativos da la suma ln(p/q). Otras reordenaciones pueden sumar un número real distinto, o infinito.

Una serie ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ converge si existe un valor ${displaystyle ell }$ tal que la sucesión de sumas parciales de dicha serie converge a ${displaystyle ell }$

esto significa que para cualquier ${displaystyle varepsilon >0}$ existe un entero ${displaystyle n_{o}}$ tal que si ${displaystyle ngeq n_{o}}$ entonces ${displaystyle |S_{k}-ell |leq varepsilon }$

Una serie converge condicionalmente si la serie ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ es convergente pero ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }|a_{n}|}$ diverge.

Una permutación es una biyección dentro del conjunto de los números naturales, es decir, de naturales en naturales. Dada una permutación ${displaystyle sigma }$, para cualquier número natural ${displaystyle b}$ existe un único ${displaystyle a}$ natural tal que ${displaystyle sigma (a)=b}$ , y por la inyectividad de la permutación si ${displaystyle x ot =y}$ entonces ${displaystyle sigma (x) ot =sigma (y)}$.

Sea ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots )}$ una sucesión de números reales, ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ una serie condicionalmente convergente, y ${displaystyle M}$ un número real dado. Existe una permutación ${displaystyle sigma }$ tal que

También existe una permutación ${displaystyle omega }$ que cumple

En otras palabras, los términos de la suma pueden reordenarse para que esta converja a cualquier número real o diverja.

Primeramente expondremos algunos conceptos que serán útiles para la posterior demostración.

Sea ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ una serie condicionalmente convergente, entonces la serie contiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Esto es cierto pues cualquiera de las otras opciones no verifica la convergencia condicional:

De esta forma, la serie original ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ puede ser expresada como suma de: una serie en la cual los términos negativos han sigo sustituidos por 0, que denotaremos por ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }p_{n}}$, y otra serie que hace lo propio con los positivos, ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }q_{n}}$. Estas dos series son necesariamente divergentes puesto que, como antes, ninguna de las otras opciones es posible:

Demostraremos a continuación cómo puede obtenerse una permutación ${displaystyle sigma }$ tal que ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{sigma (n)}=M}$ con ${displaystyle Mgeq 0}$, la demostración para un número real negativo es análoga.

Consideramos la anterior serie ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }p_{n}}$ y tomamos ${ extstyle m_{1}}$ y ${ extstyle m_{0}}$ como el primer natural tal que ${ extstyle sum _{n=1}^{m_{1}}p_{n}>M}$ y el anterior a este respectivamente; esto es posible ya que antes hemos expuesto que esta era una serie divergente. Se tiene entonces que

es decir, la diferencia entre la suma hasta ${ extstyle m_{1}}$ y M es menor que el último positivo que se ha sumado, ${displaystyle p_{m_{1}}}$. Consideramos ahora la serie de términos negativos ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }q_{n}}$ y tomamos ${displaystyle n_{1}}$el primer natural tal que ${ extstyle sum _{n=1}^{m_{1}}p_{n}+sum _{n=1}^{n_{1}}q_{n}<M}$, es decir, sumamos los primeros ${displaystyle n_{1}}$ términos negativos hasta que pasemos M por la izquierda en la recta real. Del mismo modo que antes tendremos que:

la distancia entre M y la suma de esas sumas parciales es menos que el valor absoluto del último término negativo que hemos sumado. El siguiente paso seria coger ${ extstyle m_{2}:}$ tal que ${displaystyle sum _{n=1}^{m_{1}}p_{n}+sum _{n=1}^{n_{1}}q_{n}+sum _{n=m_{1}+1}^{m_{2}}p_{n}>M}$

y de nuevo el último término positivo que hemos añadido, ${displaystyle p_{m_{2}}}$, será mayor que la diferencia entre esa suma de sumas parciales y M. Repitiendo el proceso sucesivamente se obtendrá una reodenación de términos que converge a M tal que

Observesé que, tal y como los hemos elegido, para cada uno de los ${displaystyle p_{m_{i}},q_{n_{i}}(iin mathbb {N} )}$ se cumple que

Pero dado que la serie original ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ es convergente, entonces ${displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=0}$^[3]​ y, en consecuencia, si la sucesión ${displaystyle a_{n}}$ es convergente entonces cualquier subsucesión suya es también convergente,^[4]​ en particular las sucesiones de los ${displaystyle p_{m_{i}},q_{n_{i}}(iin mathbb {N} )}$. Por tanto ${displaystyle lim _{i o infty }p_{m_{i}}=lim _{i o infty }q_{n_{i}}=0}$ y de esta forma por el criterio del sándwich se tiene que ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{sigma (n)}=M}$.

La siguiente demostración es para una reordenación que diverja a ${displaystyle +infty }$, para el caso contrario la demostración es análoga.

Sea ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ una serie condicionalmente convergente y ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }p_{n}}$ y ${ extstyle sum _{n=1}^{infty }q_{n}}$ las series con únicamente los términos positivos y negativos respectivamente de la serie original, como se han utilizado en el caso anterior.

Tomaremos ${ extstyle m_{1}}$el primer natural tal que ${ extstyle sum _{n=1}^{m_{1}}p_{n}>1}$. Escogemos ahora ${ extstyle m_{2}}$ el primer natural que verifica que ${ extstyle sum _{n=1}^{m_{1}}p_{n}+q_{1}+sum _{n=m_{1}+1}^{m_{2}}p_{n}>2}$. Si se continúa de esta forma, la reordenación obtenida diverge:

La serie armónica alternada es un ejemplo clásico de una serie condicionalmente convergente. La serie

es convergente mientras que, por el contrario, la serie con valor absoluto

es la serie armónica normal y por tanto divergente.

De acuerdo al teorema, aunque la serie armónica alternada usual es

los términos de la serie pueden reordenarse para obtener, por ejemplo, la mitad de la suma:

Los dos primeros términos suman 1/2, y el siguiente es -1/4. Los dos siguientes suman 1/6, y el siguiente es -1/8. El tercer grupo serie la suma de 1/5 - 1/10 = 1/10, y -1/12. En general se cumple que

de forma que la serie quedará reescrita de la siguiente forma: