Teorema de los números primos para progresiones aritméticas

En teoría de números, el teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Es uno de los teoremas más importantes de la historia de las matemáticas, no solo por su belleza sino por su influencia en el desarrollo posterior de la investigación de los números primos.^[1]​

El teorema también es conocido como teorema del número primo^[2]​ o teorema del número de primos.

Sea ${displaystyle pi (x),}$la función contador de números primos, que denota la cantidad de primos que no exceden a ${displaystyle x,}$. El teorema establece que:^[3]​

${displaystyle pi (x)sim {frac {x}{ln(x)}}}$, donde ${displaystyle ln(x)}$ es el logaritmo natural de ${displaystyle x}$.

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de ${displaystyle x}$ muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de ${displaystyle x,}$muy grandes es casi igual a 1.

Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la integral logarítmica desplazada:

${displaystyle pi (x)approx operatorname {Li} (x)}$ , donde ${displaystyle operatorname {Li} (x)}$ es la integral logarítmica desplazada de ${displaystyle x}$.

En 1792 o 1793,^[4]​ estando aún en el Collegium Carolinum, y siempre según el propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»),^[5]​ este anotó en su libreta de notas:

El teorema de los números primos también fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(x) parecía tener la forma a/(A ln(a) + B), donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro de teoría de números (1808) hizo una conjetura más precisa, indicando que A = 1 y B = −1.08366.^[7]​ La conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que, actualmente, se asocia más frecuentemente al teorema. Prestaron contribuciones significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebychev y Riemann.^[7]​

La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la función zeta de Riemann ${displaystyle zeta (z),}$no tiene ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

${displaystyle pi (x)approx {mbox{Li}}(x)}$

donde

${displaystyle {mbox{Li}}(x)=int _{2}^{x}{frac {dy}{ln(y)}}}$.

Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente, siendo la mejor aproximación actual la dada por:

${displaystyle pi (x)={ m {Li}}(x)+Oleft(x,exp left(-{frac {A(ln x)^{3/5}}{(ln ln x)^{1/5}}} ight) ight)}$

donde ${displaystyle O(f(x)),}$se define como la función asintótica a ${displaystyle f(x),}$y ${displaystyle A,}$es una constante indeterminada.

Para valores de ${displaystyle x,}$pequeños se había demostrado que ${displaystyle pi (x)<{mbox{Li}}(x),}$, lo que llevó a conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que ${displaystyle {mbox{Li}}(x),}$era una cota superior estricta de ${displaystyle pi (x),}$(esto es que la ecuación ${displaystyle pi (x)-{mbox{Li}}(x)=0,}$no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es cruzada para valores de ${displaystyle x,}$suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a ${displaystyle scriptstyle 10^{317},}$, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a ${displaystyle scriptstyle 10^{176},}$. En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación ${displaystyle pi (x)-{mbox{Li}}(x)=0,}$. Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.

Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.

Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primos puede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que

si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo número primo, denotado por p_n:

Una aproximación mejor es:

Sea ${displaystyle pi _{n,a}(x)}$ la función que denota el número de primos en una progresión aritmética a, a + n, a + 2n, a + 3n, … menor que x. Dirichlet y Legendre conjeturaron, y Vallée-Poussin demostró, que, si a y n son coprimos, entonces

donde φ(·) es la función φ de Euler. En otras palabras, los números primos se distribuyen uniformemente entre los residuos de clases [a] módulo n con mcd(a, n) = 1. Esto puede demostrarse usando métodos similares utilizados por Newman en su demostración del teorema de los números primos.^[9]​

El teorema de Siegel–Walfisz da una buena estimación de la distribución de los números primos en los residuos de clases.

Aunque tenemos, en particular, que

empíricamente los primos congruentes con 3 son más numerosos y están casi siempre delante en esta «carrera de números primos», la primera inversión se produce en x = 26,861.^[10]​^:1–2 Sin embargo, Littlewood mostró en 1914^[10]​^:2 que hay un número infinito de cambios de signo de la función

de manera que el liderato de esta carrera cambia sucesivamente infinitas veces. El fenómeno de que π_4,3(x) está por delante la mayor parte del tiempo se llama polarización de Chebyshev. La carrera de los números primos generalizada a otros módulos es objeto de numerosas investigaciones; Pál Turán preguntó si se da siempre el caso de que π(x;a,c) y π(x;b,c) cambian posiciones cuando a y b son coprimos con c.^[11]​ Granville y Martin le dan una exposición completa y estudiada.^[10]​

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