Hipótesis de Riemann

En matemáticas puras, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s).^[1]​

La hipótesis de Riemann, por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.^[2]​ El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.^[3]​

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida en los números complejos como la suma de una serie infinita de la siguiente forma:

y es convergente cuando la parte real es estrictamente mayor que 1. Leonhard Euler (que murió 43 años antes de que Riemann naciera) demostró que esta serie equivale al producto de Euler:

donde el producto infinito se extiende sobre el conjunto de todos los números primos p, y de nuevo converge para los complejos s cuya parte real sea mayor que 1. La convergencia del producto de Euler muestra que ζ(s) no tiene ceros en esta región, puesto que ninguno de los factores tiene ceros. La hipótesis de Riemann trata de los ceros fuera de la región de convergencia de la suma de la serie descrita anteriormente y del producto de Euler asociado. Para preservar el sentido de esta hipótesis es necesario prolongar analíticamente la función zeta de Riemann ζ(s) de forma que tenga sentido para cualquier valor de s. En particular se puede expresar mediante la siguiente ecuación funcional:

válida para todos los números complejos excepto para s = 1, donde la función tiene un polo. Como se decía anteriormente, la hipótesis de Riemann trata de los ceros de esta versión de la función zeta extendida analíticamente. Esta posee ciertos valores, llamados ceros "triviales", para los cuales la función zeta se anula. De la ecuación se puede ver que s = −2, s = −4, s = −6, ... (todos los enteros pares negativos) son ceros triviales. Así mismo, existen otros valores complejos s, que cumplen la condición 0 < Re(s) < 1, para los cuales la función zeta también se anula, son los llamados ceros "no triviales". La conjetura de Riemann hace referencia a estos ceros no triviales afirmando:

La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2

Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica s = 1/2 + i t, donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemann, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.

Riemann mencionó la conjetura en 1859, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su tesis de doctorado Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración. Él sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re(s) ≤ 1.^[4]​

En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los números primos.

En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos — es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach. Cuando se le preguntó qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, remarcablemente Hilbert contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas.

En 1914, Hardy demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(s) = 1/2. Sin embargo todavía era posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de los ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la línea crítica.

La mayor parte de la comunidad matemática piensa que la conjetura es correcta, aunque otros grandes matemáticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg se han mostrado escépticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo desde sus días de juventud. En un artículo en 1989 sugirió que un análogo debe ser cierto para una clase mucho más amplia de funciones (la clase de Selberg). Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícito de la localización de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algún contraejemplo) y en el establecimiento de cotas superiores en la proporción de ceros que puedan estar lejos de la línea crítica (con la esperanza de reducirlas a cero).

En septiembre de 2018, Michael Atiyah, laureado con la Medalla Fields (1966), entre otros galardones, presentó una prueba por contradicción de la Hipótesis de Riemann en el Heidelberg Laureate Forum 2018 (Alemania).^[5]​

La formulación tradicional de la hipótesis de Riemann oscurece un poco la importancia real de la conjetura. La función zeta de Riemann tiene una profunda conexión con los números primos y Helge von Koch demostró en 1901 que la hipótesis de Riemann es equivalente al considerable refinamiento del teorema de los números primos: Existe una constante C > 0 tal que

para todo x suficientemente grande, donde π(x) es la función contadora de primos y ln(x) es el logaritmo natural de x. Lowell Schoenfeld mostró que se puede tomar C = 1/(8 π) para todo x ≥ 2657.

Los ceros de la función zeta y los números primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando análisis de Fourier, que los ceros de la función zeta de Riemann pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.

Más aún, si la conjetura de Hilbert-Polya es cierta, entonces cualquier operador que nos dé las partes imaginarias de los ceros como sus valores propios debe satisfacer:

donde tr es la traza del operador (suma de sus valores propios), ${displaystyle eta ,}$ es un número imaginario y ${displaystyle psi (x),}$ es la función de Chebyshov que nos suma el log(x) sobre los primos y sus potencias enteras, dicha fórmula es una conclusión de la 'fórmula explícita' de V. Mangoldt.^[6]​ Varios operadores propuestos por C. Perelman, J. Macheca y J. García, parecen corroborar los resultados de la conjetura de Hilbert sobre el operador, reproduciendo la parte imaginaria de los ceros.

La Hipótesis de Riemann afirma que todos los otros ceros de la función ${displaystyle zeta }$ (zeta) se encuentran en la recta vertical que pasa por ${displaystyle {frac {1}{2}}}$, es decir, son números complejos de la forma ${displaystyle {frac {1}{2}}+it}$, ${displaystyle forall tin mathbb {R} }$.

Esta función tiene una profunda conexión con los números primos donde los ceros de la función zeta y los números primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando análisis de Fourier, que estos ceros pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.

Conociendo la relación de los números primos con la función ${displaystyle zeta }$, las repercusiones que tuvo esta función son algunas de estas:

Hege von Koch demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente al teorema de los números primos en el cual se enuncia que:

Existe una constante C tal que:

${displaystyle Cgeq 0:|pi (x)-Li(x)|leq C{sqrt {x}}ln x}$ ${displaystyle forall x:pi (x)=card[pgeq 2,primo,pleq x]}$ siendo la función contadora de primos y ${displaystyle Li(x)=int limits _{2}^{x}ln(t)dt}$

Para valores de x pequeños se había demostrado ${displaystyle pi (x)leq Li(x)}$ lo que llevó a conjeturar Li(x) era una cota superior estricta de ${displaystyle pi (x)}$ y por tanto no la ecuación ${displaystyle pi (x)-Li(x)}$ no tiene soluciones reales.

No obstante, en 1914 Littlewood empleó la Hipótesis de Riemann para mostrar quela desigualdad ${displaystyle pi (x)leq Li(x)}$ se invierte para valores suficientemente grandes de x.

En 1933 Skewes usó la Hipótesis de Reimann para mostrar que la desigualdad se invierte para algunos ${displaystyle x<10^{10^{10^{34}}}}$y en 1955, sin usar la Hipótesis, mostró que la desigualdad se invierte para algunos ${displaystyle x<10^{10^{10^{963}}}}$

Cramer mostró que la RH implica que existe una constante ${displaystyle C:p_{k+1}-p_{k}=C{sqrt {pk}}log p_{k}}$ donde ${displaystyle p_{k}}$ es el k-ésimo primo. Existe un resultado mejor que el de Cramer que es enunciado por la siguiente conjetura:

Siempre hay un primo entre ${displaystyle n^{2}}$ y ${displaystyle (n+1)^{2}}$ deberían existir varios lo que implica que ${displaystyle p_{k+1}-p_{k}=C{sqrt {p_{k}}}}$

No obstante, Cramer también conjuró que la brecha es ${displaystyle C(log p_{k})^{2}}$.