Teoremas de Sylow

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos, los teoremas de Sylow son una serie de teoremas nombrados en honor del matemático noruego Peter Ludwig Mejdell Sylow^[1]​ que proporcionan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo contenidos en un grupo finito dado. Los teoremas de Sylow son una parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de los grupos finitos simples.

Para un número primo p, un p-subgrupo de Sylow de un grupo G es un p-subgrupo maximal de G, es decir, un subgrupo cuyo orden es una potencia de p y que no está contenido estrictamente en otro p-grupo. Es decir, es un grupo de orden p^k que no está contenido en ningún subgrupo de orden p^r donde k<r. El conjunto de todos los subgrupos de Sylow de un grupo G se suele denotar como Syl_p(G).

Los teoremas de Sylow constituyen reciprocas parciales al teorema de Lagrange el cual afirma que para todo grupo finito G, el orden de cualquier subgrupo debe dividir al orden de G. En sentido contrario, para cualquier factor primo p del orden de un grupo finito G, existirá un p-subgrupo de Sylow de orden pⁿ donde n es precisamente la multiplicidad del factor primo p en el orden de G y cualquier subgrupo con el mismo orden será también un p-subgrupo de Sylow.

Todos los subgrupos de Sylow de un grupo fijo y un primo dado son conjugados entre sí. Finalmente, el último teorema de Sylow establece una condición sobre el número posible de p-subgrupos de Sylow, indicando que este número será congruente a 1 módulo p.

En teoría de grupos es común encontrar colecciones de subgrupos que sean maximales en algún u otro sentido. El resultado relevante aquí es que en el caso de Syl_p(G), todos sus elementos son isomorfos entre sí y tienen el mayor orden posible: si |G|=pⁿm con n > 0 donde p no divide a m, entonces todo p-subgrupo de Sylow P tiene orden |P| = pⁿ. Esto es, P es un p-grupo y el mcd (|G : P|, p) = 1. Estas propiedades pueden usarse para analizar con mayor profundidad la estructura de G.

Los siguientes teoremas fueron enunciados y demostrados originalmente por Ludwig Sylow en 1872, publicándolos en Mathematische Annalen.

Primer teorema de Sylow

Para cualquier factor primo p con multiplicidad n en el orden del grupo finito G, existe un p-subgrupo de Sylow de G, con orden pⁿ.

La siguiente es una versión más débil demostrada por primera vez por Cauchy:

Teorema de Cauchy

Dado un grupo finito G y un número primo p que divida al orden de G, existe un elemento de orden p en G.

Segundo teorema de Sylow

Dado un grupo finito G, y un número primo p que divide al orden de G, entonces todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados entre sí. Es decir, si H y K son p-subgrupos de Sylow entonces existe un elemento g en G tal que g⁻¹Hg = K.

Tercer teorema de Sylow

Sea p un factor primo con multiplicidad n en el orden del grupo finito G, de manera que el orden de G puede escribirse como pⁿm donde n > 0 y p no divide a m. Sea n_p el número de p-subgrupos de Sylow de G. Entonces se cumple;

Los teoremas de Sylow implican que para un primo p, todo p-subgrupo de Sylow tiene el mismo orden pⁿ. De manera inversa, cualquier subgrupo que tenga orden pⁿ será necesariamente un p-subgrupo de Sylow y además isomorfo a los demás p-subgrupos de Sylow. Debido a la condición de maximalidad, si H es un p-subgrupo de G entonces H es un subgrupo de un p-subgrupo de Sylow.

Una consecuencia importante del tercer teorema es que la condición n_p = 1 es equivalente a decir que en ese caso, el único p-subgrupo de Sylow es un subgrupo normal (hay grupos que tienen subgrupos normales pero no tienen subgrupos de Sylow normales, siendo S₄ un ejemplo de ello).

Existe un análogo al teorema de Sylow para grupos infinitos. Definimos un p-subgrupo de Sylow en un grupo infinito como un p-subgrupo (es decir, un subgrupo donde el orden de todo elemento es una potencia de p) maximal respecto a la inclusión entre el conjunto de todos los p-subgrupos. La existencia de tales subgrupos se garantiza mediante el lema de Zorn.

Si K es un p-subgrupo de Sylow de G y ${displaystyle n_{p}=|Cl(K)|}$ es finito, entonces todo p-subgrupo de Sylow es conjugado a K y n_p ≡ 1 mod p, donde Cl(K) denota la clase de conjugación de K.

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