Conjuntos

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.^[1] Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos con base en los conjuntos.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:^{[n 1]} la expresión $a \in A$ se lee entonces como « $a$ está en $A$ », « $a$ pertenece a $A$ », « $A$ contiene a $a$ », etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos $A$ y $D$ se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos $B$ y $C$ se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.

Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto $F$ es el conjunto de «los números de la forma $n 2$ tal que $n$ es un número entero entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .

Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:

Propiedad de la extensionalidad

Dos conjuntos $A$ y $B$ que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, $A = B$ .

Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto $A$ de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que $A'$ , el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:

El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:

En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por ${displaystyle emptyset }$ o simplemente {}. Algunas teorías axiomáticas de conjuntos aseguran que el conjunto vacío existe incluyendo un axioma del conjunto vacío. En otras teorías, su existencia puede deducirse. Muchas posibles propiedades de conjuntos son trivialmente válidas para el conjunto vacío.

En la teoría de conjuntos axiomática estándar, por el Axioma de extensionalidad, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos; por lo tanto solo puede haber un conjunto sin ningún elemento. Por consiguiente, solo hay un único conjunto vacío, y hablamos de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

Para cualquier conjunto A:

(Ver operaciones con conjuntos)

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:

Un subconjunto $A$ de un conjunto $B$ , es un conjunto que contiene algunos de los elementos de $B$ (o quizá todos):

Un conjunto $A$ es un subconjunto del conjunto $B$ si cada elemento de $A$ es a su vez un elemento de $B$ .

Cuando $A$ es un subconjunto de $B$ , se denota como $A \subseteq B$ y se dice que « $A$ está contenido en $B$ ». También puede escribirse $B \supseteq A$ , y decirse que $B$ es un superconjunto de $A$ y también « $B$ contiene a $A$ » o « $B$ incluye a $A$ ».

Todo conjunto $A$ es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de $A$ es a su vez un elemento de $A$ ». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: $A$ es un subconjunto propio de $B$ si es un subconjunto de $B$ pero no es igual a $B$ . Se denota como $A ⊊ B$ , es decir: $A \subseteq B$ pero $A \neq B$ (y equivalentemente, para un superconjunto propio, $B ⊋ A$ ).^{[n 2]}

Ejemplos.

Dos conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto:

El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.

El cardinal se denota por $| A |$ , $card(A)$ o $#A$ . Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que $| A | = 4$ (cuatro números), $| B | = 3$ (tres colores) y $| F | = 10$ (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío $\emptyset$ .

Existen, a su vez, determinadas propiedades de cardinalidad. Si tomamos como ejemplo dos conjuntos, A y B:

Y en el caso de tres conjuntos, A, B y C:

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: $N = {1, 2, 3, \dots}$ . Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.

Uno de los resultados más importantes de Georg Cantor fue que la cardinalidad de los reales ( ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ ) es más grande que la de los números naturales ( ${displaystyle aleph _{0}}$ ). Esto es, que hay más números reales R que números enteros N. Concretamente, Cantor mostró que ${displaystyle {mathfrak {c}}=2^{aleph _{0}}>{aleph _{0}},}$ .

La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos con cardinalidades intermedias entre los naturales y los reales:

Si se asume el axioma de elección, la estructura de los cardinales infinitos es más clara: todos los cardinales infinitos son álefs y están bien ordenados, por lo que existe solo un cardinal inmediatamente superior a $ℵ 0$ , denotado por $ℵ 1$ . La hipótesis es equivalente entonces a:

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos: