Derivada de Lie

En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable ${displaystyle scriptstyle {mathcal {M}}}$, cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial: una aplicación ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$-lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones.

Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s) bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores: Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:^[1]​

La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial:

El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma a su vez un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie.

Aunque menos habitual, también se denota a la derivada de Lie de ${displaystyle Y}$ respecto de un campo ${displaystyle X}$ como ${displaystyle X^{L}Y}$. Esta notación, en ocasiones más limpia que la anterior pues evita subíndices, proviene del profesor Juan Bautista Sancho Guimerá.

En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y,... del TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tales que para cualesquiera funciones diferenciables

f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2Y,...) = f₁f₂... f_p+1f_p+2... f_p+q T(α, β..., X, Y ,...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:

(£_AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇_A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-... + T(α, β...,∇_XA,Y,...)+...

es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor.^[2]​

Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.