Variedad de Kähler

En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad con estructura unitaria a (${displaystyle U(n)}$-estructura) que satisface una condición de integración. En particular, es una variedad compleja, una variedad de Riemann, y una variedad simpléctica, con estas tres estructuras compatibles entre sí.

Esta estructura triple corresponde a la presentación del grupo unitario como una intersección:

${displaystyle U(n)=O(2n)cap GL(n,mathbf {C} )cap Sp(2n)}$

Sin ninguna condición de integración, la noción análoga es una variedad hermítica parcial. Si la estructura-Sp es integrable (sin que la estructura compleja lo sea), la noción es una variedad de Kähler parcial; si la estructura compleja es integrable (sin que la estructura-Sp lo sea), la noción es una variedad hermítica.

Las variedades de Kähler (en inglés "Kähler manifolds") fueron llamadas así en honor al matemático Erich Kähler y son importantes en la geometría algebraica: ellas son una generalización de la geometría diferencial de variedades algebraicas complejas.

Las variedades de Kähler pueden ser caracterizados en muchas maneras: Usualmente se definen como una variedad compleja con una estructura adicional (o una variedad simpléctica con una estructura adicional, o una variedad de Riemann con una estructura adicional).

Uno puede resumir la conexión entre las tres estructuras vía ${displaystyle h=g+iomega }$, donde h es la forma hermítica, ${displaystyle g}$ es la métrica de Riemann, ${displaystyle i}$ es la estructura compleja parcial, y ${displaystyle omega }$ la estructura simpléctica parcial.

La métrica de Kähler en una variedad compleja M es una métrica hermítica en el fibrado tangente complexificado ${displaystyle TMotimes mathbb {C} }$ que satisface la condición de tener varias caracterizaciones equivalentes (siendo la más geométrica el transporte paralelo inducido por la métrica que da lugar a funciones complejo-lineales en los espacios tangentes). En términos de coordenadas locales se especifica de este modo: si.

${displaystyle h=sum h_{i{ar {j}}};dz^{i}otimes d{ar {z}}^{j}}$

es métrica hermítica, entonces la forma de Kähler asociada (definida salvo un factor de ${displaystyle i/2}$) por

${displaystyle omega =sum h_{i{ar {j}}};dz^{i}wedge d{ar {z}}^{j}}$

es cerrada: es decir, ${displaystyle domega =0}$. Si ${displaystyle M}$ lleva tal métrica se llama una variedad de Kähler.

La métrica en la variedad de Kähler satisface localmente

para alguna función ${displaystyle K}$, llamado "el potencial de Kähler".

Una variedad de Kähler, la forma asociada de la métrica de Kähler es llamada Kähler-Einstein (o algunas veces Einstein-Kähler) si su tensor de curvatura Ricci es proporcional al tensor métrico, ${displaystyle R=lambda g}$, por alguna constante ${displaystyle lambda }$. Este nombre es un recordatorio de las consideraciones de Einstein sobre la constante cosmológica. Ver el artículo variedad de Einstein para más detalles.

Una subclase importante de las variedades de Kähler son las variedades de Calabi-Yau.