Diferencia simétrica

En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación cuyo resultado es otro conjunto que contiene a aquellos elementos que pertenecen a uno de los conjuntos iniciales, pero no a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son todos los elementos de A o B, a excepción de los elementos comunes a ambos:

${displaystyle xin A Delta ,B}$ si y sólo si, o bien ${displaystyle xin A}$ o bien ${displaystyle xin B}$

Ejemplo.

La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y diferencia:

${displaystyle A Delta ,B=(Acup B)setminus (Acap B)=(Asetminus B)cup (Bsetminus A)}$

La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia simétrica de más de dos conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones es irrelevante (ver más abajo). Así es que se puede definir la diferencia simétria de una familia de conjuntos finita:

${displaystyle A_{1} riangle ,A_{2} riangle ,ldots riangle ,A_{n}equiv left(A_{1} riangle ,left(A_{2} riangle ,left(ldots riangle ,A_{n} ight){scriptstyle ldots } ight) ight.}$

Puede comprobarse que una definición alternativa para esta diferencia de varios conjuntos es incluir sólo los elementos que aparecen un número impar de veces:

${displaystyle A_{1} riangle ,A_{2} riangle ,ldots riangle ,A_{n}={ig {}ain cup _{1leq ileq n}A_{i}:{ ext{ el cardinal de }}{k:ain A_{k}}{ ext{ es impar}}{ig }}}$

De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente:

La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números:

Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva:

Propiedad distributiva

${displaystyle Acap (B riangle C)=(Acap B) riangle (Acap C)}$

Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en Z₂. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado X tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de X con valores en Z₂, con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de X su función característica.

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