Ecuación de onda electromagnética

Los campos electromagnéticos se propagan por el espacio en forma de ondas, que pueden viajar a través de un medio así como en el vacío. Las ecuaciones de onda electromagnéticas son necesarias para describir la propagación de las ondas electromagnéticas, tanto en presencia de materia como en el vacío.

En el vacío, en regiones donde no hay cargas ni corrientes las ecuaciones de Maxwell tienen la forma:

Como se puede apreciar tenemos ecuaciones de onda tanto para el campo eléctrico ${displaystyle {vec {E}}}$ como para el campo magnético ${displaystyle {vec {B}}}$ , que son obtenidas a partir de teniendo que:

${displaystyle {egin{matrix}{ ext{(i)}}~~ abla cdot mathbf {E} =0&{ ext{(iii)}}~~ abla imes mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}\{ ext{(ii)}}~~ abla cdot mathbf {B} =0&{ ext{(iv)}}~~ abla imes mathbf {B} =mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}end{matrix}}}$

Que constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales acopladas de primer orden, tanto para el campo eléctrico ${displaystyle mathbf {E} }$ como para el campo magnético ${displaystyle mathbf {B} }$; ${displaystyle epsilon _{0}}$ es la permitividad dieléctrica del vacío y ${displaystyle mu _{0}}$ la permeabilidad magnética en el vacío.

Para obtener las ecuaciones de onda es necesario aplicar el operador rotacional a ${displaystyle { ext{(iii)}}}$ y ${displaystyle { ext{(iv)}}}$, teniendo en cuenta la siguiente propiedad:

${displaystyle abla imes left( abla imes mathbf {A} ight)= abla ( abla cdot mathbf {A} )- abla ^{2}mathbf {A} }$

${displaystyle underbrace { abla imes ( abla imes mathbf {E} )} _{[1]}=underbrace { abla imes left(-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}} ight)} _{[2]}}$

${displaystyle [1]~~ abla imes ( abla imes mathbf {E} )= abla left( abla cdot mathbf {E} ight)- abla ^{2}mathbf {E} ~{overset { ext{(i)}}{=}}~- abla ^{2}mathbf {E} }$

${displaystyle [2]~~ abla imes left(-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}} ight)=-{frac {partial }{partial t}}left( abla imes mathbf {B} ight)~{overset { ext{(iv)}}{=}}~-mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}}$

Igualando ${displaystyle [1]}$ a ${displaystyle [2]}$ obtenemos la ecuación de onda para el campo eléctrico ${displaystyle mathbf {E} }$ en vacío.

${displaystyle abla ^{2}mathbf {E} -mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}=0}$

${displaystyle underbrace { abla imes ( abla imes mathbf {B} )} _{[1]}=underbrace { abla imes left(mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}} ight)} _{[2]}}$

${displaystyle [1]~~ abla imes ( abla imes mathbf {B} )= abla left( abla cdot mathbf {B} ight)- abla ^{2}mathbf {B} ~{overset { ext{(ii)}}{=}}~- abla ^{2}mathbf {B} }$

${displaystyle [2]~~ abla imes left(mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}} ight)=mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}left( abla imes mathbf {E} ight)~{overset { ext{(iii)}}{=}}~-mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}}$

Igualando ${displaystyle [1]}$ a ${displaystyle [2]}$ obtenemos la ecuación de onda para el campo magnético ${displaystyle mathbf {B} }$ en vacío.

${displaystyle abla ^{2}mathbf {B} -mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}=0}$

Comparando las ecuaciones de onda que hemos obtenido para el campo eléctrico ${displaystyle mathbf {E} }$ y el campo magnético ${displaystyle mathbf {B} }$ con la ecuación genérica de ondas tridimensional:

${displaystyle abla ^{2}psi -{frac {1}{v^{2}}}{frac {partial ^{2}psi }{partial t^{2}}}=0}$

Donde ${displaystyle v}$ es la velocidad de propagación de la onda, es fácil deducir que la velocidad de propagación de la onda electromagnética es

${displaystyle v={frac {1}{sqrt {epsilon _{0}mu _{0}}}}equiv csimeq 3cdot 10^{8}{ ext{m/s}}}$

Es decir, en el vacío los campos eléctrico y magnético se propagan a la velocidad de la luz, a partir de este resultado se pudo deducir que la luz es en realidad una onda electromagnética, dando inicio a la teoría electromagnética de la luz.

Los campos electromagnéticos son reales, pero por comodidad definimos unos campos eléctrico, ${displaystyle { ilde {mathbf {E} }}}$, y magnético, ${displaystyle { ilde {mathbf {B} }}}$, auxiliares complejos de manera que:

${displaystyle {egin{matrix}mathbf {E} =Re {{mathbf { ilde {E}} }}~~~~&~~~~mathbf {B} =Re {{mathbf { ilde {B}} }}end{matrix}}}$

Las ondas planas monocromáticas son unas de las más simples y fundamentales soluciones de la ecuación de ondas y la importancia de estas ondas reside en que toda onda puede ser expresada como combinación lineal por superposición de Fourier de estas. Se denominan monocromáticas ya que son funciones oscilantes de una sola frecuencia angular ${displaystyle e^{-iomega t}}$, y en el rango de radiación electromagnética visible, a cada frecuencia le corresponde un color.

Para simplificar los cálculos solo mostraremos la resolución para el campo eléctrico ${displaystyle { ilde {mathbf {E} }}}$, ya que para el campo magnético ${displaystyle { ilde {mathbf {B} }}}$ se realiza de igual forma.

Como buscamos soluciones de onda plana monocromáticas:

${displaystyle { ilde {mathbf {E} }}(x,y,z,t)=mathbf {{ ilde {E}}_{0}} (x,y,z)e^{-iomega t} ightarrow {egin{pmatrix}{ ilde {E}}_{x}(x,y,z,t)\{ ilde {E}}_{y}(x,y,z,t)\{ ilde {E}}_{z}(x,y,z,t)end{pmatrix}}={egin{pmatrix}{ ilde {E}}_{0x}(x,y,z)\{ ilde {E}}_{0y}(x,y,z)\{ ilde {E}}_{0z}(x,y,z)end{pmatrix}}e^{-iomega t}~~~~~~~~~~(1)}$

Sustituyendo en la ecuación de ondas del campo eléctrico para la componente ${displaystyle m}$ del campo:

${displaystyle abla ^{2}{ ilde {E}}_{m}-mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{m}}{partial t^{2}}}=0~ ightarrow ~{frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{m}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{m}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{m}}{partial z^{2}}}-mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial { ilde {E}}_{m}}{partial t^{2}}}=0}$

${displaystyle {frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{0m}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{0m}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}{ ilde {E}}_{0m}}{partial z^{2}}}+mu _{0}epsilon _{0}omega ^{2}{ ilde {E}}_{0m}=0~~~~~~~~~~(2)}$

Como ${displaystyle { ilde {E}}_{0m}={ ilde {E}}_{0m}(x,y,z)}$ es función de las 3 coordenadas espaciales, tratamos de resolver la ecuación diferencial por el método de separación de variables, suponiendo que ${displaystyle { ilde {E}}_{0m}(x,y,z)=X(x)cdot Y(y)cdot Z(z)}$, entonces sustituyendo en la ecuación diferencial ${displaystyle (2)}$:

${displaystyle YZ{frac {partial ^{2}X}{partial x^{2}}}+XZ{frac {partial ^{2}Y}{partial y^{2}}}+XY{frac {partial ^{2}Z}{partial z^{2}}}+mu _{0}epsilon _{0}omega ^{2}XYZ=0 ightarrow {frac {1}{X}}{frac {partial ^{2}X}{partial x^{2}}}+{frac {1}{Y}}{frac {partial ^{2}Y}{partial y^{2}}}+{frac {1}{Z}}{frac {partial ^{2}Z}{partial z^{2}}}=-mu _{0}epsilon _{0}omega ^{2}~~~~~~~~~~(3)}$

Y como los términos de la suma depende de variables distintas y están igualados a una constante, solo puede ser posible si cada uno de los términos de la izquierda están igualados a una constante:

${displaystyle {frac {1}{X}}{frac {partial ^{2}X}{partial x^{2}}}=-k_{x}^{2}~~~~;~~~~{frac {1}{Y}}{frac {partial ^{2}Y}{partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}~~~~;~~~~{frac {1}{Z}}{frac {partial ^{2}Z}{partial z^{2}}}=-k_{z}^{2}}$

Cuyas soluciones son triviales:

${displaystyle X(x)=X_{0}e^{i(k_{x}x+delta _{x})}~~~~;~~~~Y(y)=Y_{0}e^{i(k_{y}y+delta _{y})}~~~~;~~~~Z(z)=Z_{0}e^{i(k_{z}z+delta _{z})}~~~~~~~~~~(4)}$

Así sustituyendo estos resultados en ${displaystyle (1)}$ y definiendo el vector de onda ${displaystyle mathbf {k} ={egin{pmatrix}k_{x}\k_{y}\k_{z}end{pmatrix}}}$, obtenemos la relación de dispersión ${displaystyle omega =omega (|mathbf {k} |)}$:

${displaystyle -k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=-mu _{0}epsilon _{0}omega ^{2} ightarrow omega ={frac {sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}{sqrt {mu _{0}epsilon _{0}}}} ightarrow }$

${displaystyle omega ={frac {|mathbf {k} |}{sqrt {mu _{0}epsilon _{0}}}}equiv c|mathbf {k} |~~~~~~~~~~(5)}$

Es interesante nombrar que este vector de onda marca la dirección en la que se propaga la onda electromagnética , ${displaystyle {hat {k}}={frac {mathbf {k} }{|mathbf {k} |}}}$.

Para obtener la solución de ${displaystyle { ilde {E}}_{0m}={ ilde {E}}_{0m}(x,y,z)}$ multiplicamos las funciones de ${displaystyle (4)}$, donde ${displaystyle mathbf {r} }$ es el vector posición:

${displaystyle { ilde {E}}_{0m}=underbrace {X_{0}Y_{0}Z_{0}} _{={ ilde {A}}_{m}},e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}underbrace {e^{i(delta _{x}+delta _{y}+delta _{z})}} _{=e^{idelta }} ightarrow ~~{ ilde {E}}_{0m}={ ilde {A}}_{m}e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} +delta )}}$

Este resultado corresponde a una componente arbitraria ${displaystyle m}$ del campo eléctrico, y vemos que solo la amplitud relativa de la componente depende de esta, así que retomando la expresión ${displaystyle (1)}$:

${displaystyle { ilde {mathbf {E} }}(x,y,z,t)={hat {s}}_{E}{ ilde {E_{0}}}e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -wt+delta _{E})}equiv { ilde {mathbf {E} }}_{0}e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -wt+delta _{E})}~~~~~~~~~~(6)}$

${displaystyle mathbf {E} =Re {{{ ilde {mathbf {E} }}}}=mathbf {E} _{0}cos {(mathbf {k} cdot mathbf {r} -wt+{ ilde {delta }}_{E})}}$

Análogamente para el campo magnético:

${displaystyle { ilde {mathbf {B} }}(x,y,z,t)={hat {s}}_{B}{ ilde {B_{0}}}e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -wt+delta _{B})}equiv { ilde {mathbf {B} }}_{0}e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -wt+delta _{B})}~~~~~~~~~~(7)}$

${displaystyle mathbf {B} =Re {{{ ilde {mathbf {B} }}}}=mathbf {B} _{0}cos {(mathbf {k} cdot mathbf {r} -wt+{ ilde {delta }}_{B})}}$

${displaystyle (6)}$ y ${displaystyle (7)}$ se corresponden con las formas generales de los campos complejos, y donde hemos hecho ${displaystyle {egin{pmatrix}{ ilde {A}}_{x}\{ ilde {A}}_{y}\{ ilde {A}}_{z}end{pmatrix}}={hat {s}}_{E}{ ilde {E}}_{0}equiv mathbf { ilde {E}} _{0}}$. Siendo ${displaystyle {hat {s}}_{E}}$ y ${displaystyle {hat {s}}_{B}}$ los vectores de polarización electromagnética del campo eléctrico y campo magnético respectivamente. De ahora en adelante tomaremos los desfases como nulos ${displaystyle delta _{E}=delta _{B}=0}$, a no ser que sean necesarios, y sin perdida de generalidad.

A partir de la ecuación de Maxwell ${displaystyle { ext{(i)}}}$, se deduce que el campo eléctrico, ${displaystyle { ilde {mathbf {E} }}}$, es perpendicular a la dirección de propagación de la onda electromagnética ${displaystyle {hat {k}}}$.

${displaystyle abla cdot mathbf { ilde {E}} =0~ ightarrow ~{ ilde {E}}_{0x}e^{-iomega t}{frac {partial }{partial x}}left(e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)} ight)+{ ilde {E}}_{0y}e^{-iomega t}{frac {partial }{partial y}}left(e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)} ight)+{ ilde {E}}_{0z}e^{-iomega t}{frac {partial }{partial z}}left(e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)} ight)=0~ ightarrow }$

${displaystyle { ilde {E}}_{0x}k_{x}+{ ilde {E}}_{0y}k_{y}+{ ilde {E}}_{0y}k_{y}=0~ ightarrow ~mathbf { ilde {E}} _{0}cdot mathbf {k} =0~~ ightarrow ~{hat {s}}_{E}cdot {hat {k}}=0}$

Por las propiedades del producto escalar y que esto se puede reproducir para el campo magnético usando ${displaystyle { ext{(ii)}}}$, significa que los campos son perpendiculares a la dirección de propagación.

${displaystyle {egin{matrix}{hat {s}}_{E}cdot {hat {k}}=0~~ ightarrow ~~{hat {s}}_{E}perp {hat {k}}\{hat {s}}_{B}cdot {hat {k}}=0~~ ightarrow ~~{hat {s}}_{B}perp {hat {k}}end{matrix}}}$

Desarrollando la ecuación de Maxwell ${displaystyle { ext{(iii)}}}$, empleando el convenio de suma de Einstein para índices repetidos, las propiedades del símbolo de Levi-Civita y la delta de Kronecker:

${displaystyle abla imes mathbf { ilde {E}} equiv varepsilon _{ijk}{frac {partial { ilde {E}}_{k}}{partial x_{j}}}{hat {e}}_{i}=varepsilon _{ijk}{frac {partial }{partial x_{j}}}left[{ ilde {E}}_{k0}e^{i(k_{l}x_{m}delta _{lm}-omega t)} ight]{hat {e}}_{i}=varepsilon _{ijk}{ ilde {E}}_{k}k_{l}delta _{lm}delta _{mj}{hat {e}}_{i}=varepsilon _{ijk}k_{j}{ ilde {E}}_{k}{hat {e}}_{i}equiv mathbf {k} imes { ilde {mathbf {E} }}=|mathbf {k} |{hat {k}} imes { ilde {mathbf {E} }}}$

${displaystyle -{frac {partial { ilde {mathbf {B} }}}{partial t}}=-{ ilde {mathbf {B} }}_{0}{frac {partial }{partial t}}left[e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)} ight]=omega { ilde {mathbf {B} }}}$

Igualando las expresiones y usando la relación de dispersión ${displaystyle { ext{(5)}}}$:

${displaystyle abla imes mathbf { ilde {E}} =-{frac {partial { ilde {mathbf {B} }}}{partial t}}~~ ightarrow ~~|mathbf {k} |({hat {k}} imes mathbf { ilde {E}} )=omega mathbf { ilde {B}} ~~ ightarrow ~~mathbf { ilde {B}} ={frac {|mathbf {k} |}{omega }}({hat {k}} imes mathbf { ilde {E}} )}$

Obtenemos una relación entre la magnitud del campo eléctrico y magnético de la onda.

${displaystyle mathbf { ilde {B}} ={frac {|mathbf {k} |}{omega }}({hat {k}} imes mathbf { ilde {E}} )equiv {frac {1}{c}}({hat {k}} imes mathbf { ilde {E}} )equiv {sqrt {mu _{0}epsilon _{0}}}({hat {k}} imes mathbf { ilde {E}} )}$

Además, debido a que el producto vectorial entre dos vectores resulta en un vector perpendicular a ambos, los campos eléctrico y magnético no solo son perpendiculares a la dirección de propagación, sino que son también perpendiculares entre sí, ${displaystyle {hat {s}}_{E}perp {hat {s}}_{B}}$.

J. Griffiths, David. «9. Electromagnetic Waves». Introduction to electrodynamics (en inglés). Pearson. ISBN 978-93-325-5044-5. 

Jackson, John David. «7 / Plane electromagnetic waves and wave propagation». Classical Electrodynamics (en inglés). Wiley. ISBN 978-0-471-30932-1. 

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