Formas cuadráticas

Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial ${displaystyle scriptstyle x,}$ un elemento del cuerpo sobre el que está construido el espacio vectorial, de una manera que generaliza la operación ${displaystyle scriptstyle ax^{2},}$ un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

Una forma cuadrática es una aplicación ${displaystyle omega ,}$ del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

Una forma cuadrática es por tanto una aplicación ${displaystyle scriptstyle f(x,x)=x^{mathsf {T}},B x,}$ que se representa habitualmente mediante un polinomio de segundo grado con varias variables (tantas como la dimensión del espacio vectorial).

Es evidente que tanto las formas cuadráticas como las formas bilineales simétricas definen sendos espacios vectoriales (son estables bajo combinaciones lineales con elementos del cuerpo). Para ver su equivalencia entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas, basta encontrar una biyección entre estos dos espacios vectoriales, que no es sino el contenido del apartado b) de la sección anterior. Sin embargo, no han de confundirse: las Formas Bilineales son aplicaciones de ${displaystyle scriptstyle E imes E o mathbb {K} ,}$ mientras que las Formas Cuadráticas son aplicaciones de ${displaystyle scriptstyle E o mathbb {K} ,}$ .

Se llama signatura de una forma cuadrática ${displaystyle q:V o mathbb {R} ,}$ al par ${displaystyle (p,m),}$ donde ${displaystyle p}$ es el número de + 1 's que posee la diagonal de la matriz de la métrica simétrica asociada a ${displaystyle q:V o mathbb {R} }$ y ${displaystyle m}$ es el número de -1 's que posee dicha diagonal. El resto de los elementos (si ${displaystyle p+q<dim V}$) son 0 's. La existencia de una base de ${displaystyle V}$ en la que dicha matriz diagonalice de tal forma la asegura la Ley de inercia de Sylvester.

Se dice que una forma cuadrática ${displaystyle q:V o mathbb {R} }$ es definida si para todo ${displaystyle x eq 0in V}$ se verifica:

siendo ${displaystyle b_{p}}$ la forma polar de la forma cuadrática.

En el caso antes mencionado, si una forma cuadrática es definida entonces:

Supongamos que q es definida y que existen q(x)<0 y q(y)>0 y se busca ${displaystyle q(lambda x+y)=0}$, ${displaystyle lambda in mathbb {R} }$

Desarrollando se tiene:

Despejando

Como q(x)<0 y q(y)>0 el discriminante es positivo y existe solución distinta de la trivial que verifica ${displaystyle q(lambda x+y)=0}$ con lo que se llega a un absurdo pues se supuso que la forma cuadrática era definida.

Una forma cuadrática es definida positiva (negativa) si todos los autovalores de su matriz asociada son positivos (negativos)

Dado que A es una matriz simétrica existe una base de autovectores ortogonales ${displaystyle {e_{i}}}$ con autovalores ${displaystyle {lambda _{i}}}$.

En la base de autovectores se tiene ${displaystyle x=sum _{i}c_{i}e_{i}}$

Operando (omitiendo sumatorios):

Que es positivo (negativo) en general si y solo si ${displaystyle lambda _{i}>(<)0quad forall i}$

El caso de que ${displaystyle scriptstyle V=mathbb {R} ^{2},}$, una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto de cónicas. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.

A todos los vectores cuyo extremo caiga sobre la misma curva cuadrática se les asignará el mismo valor numérico.

Sea la forma cuadrática ${displaystyle Q:,mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ definida por ${displaystyle Q(x)=x^{T}Ax,}$, con ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes n}}$ simétrica. Esta matriz es diagonalizable ortogonalmente siempre.

Si pensamos en la factorización ${displaystyle A=PDelta P^{T},}$ con ${displaystyle Pin mathbb {R} ^{n imes n}}$ una matriz ortogonal compuesta por autovectores de ${displaystyle A,}$ y ${displaystyle Delta in mathbb {R} ^{n imes n},}$ una matriz diagonal compuesta por los autovalores de ${displaystyle A,}$ en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a:

${displaystyle Q(x)=x^{T}PDelta P^{T}x,}$

Si llamamos ${displaystyle y=P^{T}x,}$, entonces tenemos que ${displaystyle y^{T}=left(P^{T}x ight)^{T}=x^{T}P,}$. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos que:

${displaystyle Q(x)={hat {Q}}(y)=y^{T}Delta y}$

Y sabemos que ${displaystyle Delta =operatorname {diag} [lambda _{1}quad cdots quad lambda _{n}]^{T}}$, con ${displaystyle lambda _{i},,,1leq ileq n}$ autovalor de ${displaystyle A,}$. Por lo que si el cambio de variables propuesto es tal que ${displaystyle y=[y_{1}quad cdots quad y_{n}]^{T}}$ tenemos que:

${displaystyle {hat {Q}}(y)=sum _{i=1}^{n}lambda _{i}y_{i}^{2}}$

A este tipo de forma cuadrática se la llama "forma cuadrática sin productos cruzados".

Sean, ${displaystyle lambda _{1}geq cdots geq lambda _{n},}$ los autovalores de ${displaystyle A,}$ ordenados de forma decreciente. Es decir, ${displaystyle lambda _{ m {max}}=lambda _{1}quad wedge quad lambda _{ m {min}}=lambda _{n}}$. Entonces tenemos que:

${displaystyle {hat {Q}}(y)=sum _{i=1}^{n}lambda _{i}y_{i}^{2}quad leq quad lambda _{ m {max}}sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}$

${displaystyle {hat {Q}}(y)=sum _{i=1}^{n}lambda _{i}y_{i}^{2}quad geq quad lambda _{ m {min}}sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}$

Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que ${displaystyle sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}=|y|^{2},}$. Por lo tanto:

${displaystyle lambda _{ m {min}}|y|^{2}quad leq quad {hat {Q}}(y)quad leq quad lambda _{ m {max}}|y|^{2}}$

Pero una de las propiedades fundamentales de las matrices ortogonales es que conservan el producto interno, pues en particular ${displaystyle |y|^{2}=(y,y)=left(P^{T}x,P^{T}x ight)=left(P^{T}x ight)^{T}P^{T}x=x^{T}PP^{T}x=x^{T}x=|x|^{2}}$. Entonces, finalmente tenemos que

${displaystyle lambda _{ m {min}}|x|^{2}quad leq quad Q(x)quad leq quad lambda _{ m {max}}|x|^{2}}$

Y ocurre que ${displaystyle Q(x)=lambda _{ m {min}}|x|^{2},}$ cuando el vector ${displaystyle xin S_{lambda _{ m {min}}}}$ y también ${displaystyle Q(x)=lambda _{ m {max}}|x|^{2},}$ cuando el vector ${displaystyle xin S_{lambda _{ m {max}}}}$, siendo ${displaystyle S_{lambda _{ m {max}}}}$ y ${displaystyle S_{lambda _{ m {min}}}}$ los autoespacios asociados a los autovalores máximo y mínimo respectivamente.

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