Grupo abeliano

En matemáticas, un grupo abeliano o grupo conmutativo es un grupo en el cual la operación interna satisface la propiedad conmutativa, esto es, que el resultado de la operación es independiente del orden de los argumentos. De manera más formal, un grupo ${displaystyle (G,circ )}$ es abeliano cuando, además de los axiomas de grupo, se satisface la siguiente condición

Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por radicales.^[1]​ Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos o no conmutativos.

Los grupos abelianos son la base sobre la que se construyen estructuras algebraicas más complejas como los anillos y cuerpos, los espacios vectoriales o los módulos. En teoría de categorías, los grupos abelianos son el objeto de estudio de la categoría Ab.

Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.

La notación multiplicativa es la notación usual en teoría de grupos, mientras que la aditiva es la notación usual en el estudio de anillos, módulos y espacios vectoriales, en los que hay una segunda operación. Es corriente también usar la notación aditiva cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, como en el caso del álgebra homológica.

Todo grupo cíclico ${displaystyle G=langle a angle }$ es abeliano, pues dos elementos cualesquiera ${displaystyle x,yin G}$ se pueden expresar como potencias ${displaystyle x=a^{m}, y=a^{n}}$ para ciertos enteros m y n. En consecuencia

En particular, el grupo aditivo de los enteros ${displaystyle mathbb {Z} }$ es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, ${displaystyle mathbb {Z} _{n}}$.^[2]​

Los números racionales, los reales, los complejos y los cuaterniones son cada uno de ellos un grupo abeliano bajo la adición. También lo son bajo la multiplicación (excluyendo el cero de cada uno de estos conjuntos) exceptuando a los cuaterniones, que son un ejemplo notable de cuerpo no conmutativo. En general, todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. Si además es un anillo conmutativo, los elementos invertibles también forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.^[3]​

Dado un grupo ${displaystyle G}$ arbitrario, es posible construir la abelianización de ${displaystyle G}$, que es el cociente de ${displaystyle G}$ por su subgrupo conmutador: ${displaystyle G/[G,G]}$. Este grupo es abeliano, y tiene la propiedad de que si dado cualquier otro subgrupo normal ${displaystyle N}$, el cociente ${displaystyle G/N}$ es abeliano, entonces ${displaystyle [G,G]subset N}$.^[4]​

Todo grupo ${displaystyle G}$ contiene un subgrupo abeliano llamado centro del grupo, que está formado por los elementos que conmutan con cualquier otro del grupo.^[5]​

Se dice que un grupo está finitamente generado si existe un conjunto generador del grupo que es finito. Todo grupo finito está finitamente generado, puesto que el propio grupo es un conjunto generador de sí mismo. Los grupos abelianos finitos y finitamente generados están totalmente clasificados por el llamado teorema de estructura, del que existen varias versiones. Según este teorema, todo grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de grupos cíclicos, los cuales pueden ser de dos tipos:^[6]​

Resulta de interés estudiar primero el caso de grupos finitos, pues este resultado se aplica directamente al caso general. El teorema de estructura en el caso finito afirma lo siguiente:

Teorema de estructura para grupos abelianos finitos^[7]​

Todo grupo abeliano finito ${displaystyle G}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{d_{1}}oplus ldots oplus Z_{d_{t}}}$, donde ${displaystyle d_{1},ldots ,d_{t}}$ son enteros mayores que 1 que verifican ${displaystyle d_{i}|d_{i+1}, forall i=1,ldots ,t-1}$.

Los números ${displaystyle d_{1},ldots ,d_{t}}$ se denominan coeficientes de torsión de ${displaystyle G}$, y son invariantes del grupo. En particular, el orden de ${displaystyle G}$ es igual al producto ${displaystyle d_{1}ldots d_{t}}$.^[8]​ Se dice que un elemento ${displaystyle g}$ de un grupo es un elemento de torsión si su orden es finito. Análogamente, se dice que un grupo en el cual todos los elementos son de torsión es un grupo de torsión. Naturalmente, todos los grupos finitos son de torsión.

Este teorema se deduce del siguiente resultado, utilizando que ${displaystyle mathbb {Z} _{m}oplus mathbb {Z} _{n}}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{nm}}$ cuando n y m son coprimos:

Teorema de descomposición primaria de grupos abelianos^[9]​

Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{p_{1}^{k_{1}}}oplus ldots oplus Z_{p_{r}^{k_{r}}}}$, donde ${displaystyle p_{1},ldots ,p_{r}}$ son números primos (no necesariamente distintos) y ${displaystyle k_{1},ldots ,k_{r}in mathbb {N} }$.
Los enteros ${displaystyle p_{1}^{k_{1}},ldots ,p_{r}^{k_{r}}}$ son únicos salvo por el orden.

Los siguientes ejemplos ilustran la forma de aplicar el teorema de estructura, a partir de los factores primos del orden del grupo:

El conjunto de los elementos de torsión de un grupo arbitrario forman un subgrupo que se denomina subgrupo de torsión, y se denota como ${displaystyle au (G)}$. Si el único elemento de torsión es la identidad, entonces se dice que el grupo está libre de torsión. En tal caso, todo elemento distinto de la identidad es de orden infinito. El siguiente resultado indica la manera en que se puede descomponer un grupo abeliano en dos partes: una de torsión y una libre de torsión:

Para todo grupo ${displaystyle G}$ abeliano, el cociente ${displaystyle G/ au (G)}$ está libre de torsión.^[10]​

Si el grupo abeliano ${displaystyle G}$ está finitamente generado entonces su subgrupo de torsión está también finitamente generado, y de hecho es finito. Por tanto puede ser clasificado conforme al apartado anterior. Además ${displaystyle G= au (G)oplus F}$, donde ${displaystyle F}$ es un grupo abeliano finitamente generado y libre de torsión. El siguiente resultado nos permite caracterizar este grupo ${displaystyle F}$:

Todo grupo abeliano finitamente generado y libre de torsión es un grupo abeliano libre.^[11]​

Un grupo abeliano finitamente generado ${displaystyle G}$ es un grupo abeliano libre si es isomorfo al producto directo ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$, para cierto entero positivo ${displaystyle n}$, denominado rango de ${displaystyle G}$. En consecuencia

Teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados^[12]​

Todo grupo abeliano finitamente generado ${displaystyle G}$ es la suma directa de grupos cíclicos finitos e infinitos, y el número de sumandos de cada clase depende únicamente de ${displaystyle G}$.

En resumen, todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a la suma directa

donde el número de factores ${displaystyle mathbb {Z} }$ es el rango y los números ${displaystyle d_{1},ldots ,d_{t}}$ son los coeficientes de torsión de ${displaystyle G}$, que verifican que ${displaystyle d_{i}|d_{i+1}, forall i=1,ldots ,t-1}$.

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