Norma (matemáticas)

Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que surge, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.

Por tanto, basándonos en las propiedades básicas que la determinación de la longitud tiene en el espacio euclídeo habitual, definimos matemáticamente qué condiciones mínimas debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometría. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la astrofísica y la cosmología.

En espacios vectoriales es sinónimo de longitud de un vector.

En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia euclídea (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector ${displaystyle {vec {AB}}}$.

De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal ${displaystyle {mathcal {B}}}$ en la que un vector ${displaystyle mathbf {v} }$ viene dado por sus componentes en esta base, ${displaystyle mathbf {v} _{mathcal {B}}=(v_{1},v_{2},cdots ,v_{n})}$, entonces la norma de dicho vector viene dada por:

${displaystyle |mathbf {v} |={sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+cdots +v_{n}^{2}}}={sqrt {sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}}$

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:

Esto genera la siguiente

Se denomina norma de un vector ${displaystyle xin R^{n}}$ si satisface las siguientes condiciones:

Sea ${displaystyle mathbf {V} }$ un espacio vectorial sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$ y ${displaystyle {vec {x}}}$ un vector del espacio. Se dice que ${displaystyle |cdot |:V ightarrow mathbb {R} }$ es un operador que define la norma de ${displaystyle {vec {x}}}$, que denotaremos como ${displaystyle |{vec {x}}|}$, si cumple:

Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

${displaystyle |{vec {x}}|_{p}={sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+...+|x_{n}|^{p}}}}$

Así, para el caso ${displaystyle p=1}$ se obtiene ${displaystyle |{vec {x}}|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|}$, y para el caso ${displaystyle p=2}$ se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

${displaystyle |{vec {x}}|_{infty }=max(|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{n}|)=max _{iin {1,dots ,n}}|x_{i}|}$

Donde ${displaystyle {vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$. Para un espacio de dimensión infinita numerable se podría escribir:

${displaystyle |{vec {x}}|_{infty }=sup _{iin mathbb {N} }|x_{i}|}$

La elección del subíndice ${displaystyle infty }$ para esta norma se debe al hecho de que:

${displaystyle lim _{p o infty },,|{vec {x}}|_{p}=|{vec {x}}|_{infty }}$

${displaystyle |x|={sqrt {langle x,x^{*} angle }}}$ donde x* es el complejo conjugado de x

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

En ${displaystyle R^{n}}$ todas las normas son equivalentes (desde el punto de vista de la convergencia), esto es, que para dos normas cualesquiera ${displaystyle |.|_{1}}$ y ${displaystyle |.|_{2}}$ existen dos constantes ${displaystyle gamma }$ y ${displaystyle lambda }$ tales que

${displaystyle |x|_{1}leq gamma |x|_{2}}$ y ${displaystyle |x|_{2}leq lambda |x|_{1}}$ para todo ${displaystyle xin R^{n}.}$ ^[2]​

${displaystyle |v|_{p}={sqrt[{p}]{int _{0}^{T}|v(t)|^{p},{ ext{d}}t}}}$ en el espacio ${displaystyle L_{p}[0,T],1leq p<infty }$, formado por todas las funciones escalares medibles ${displaystyle v(t)}$ definidas sobre ${displaystyle 0leq tleq T}$ ^[3]​

${displaystyle |u|_{m,p}={sqrt[{p}]{int _{Omega }sum _{|alpha |leq m}|D^{alpha }u|^{p},{ ext{d}}x}}}$ en ${displaystyle C^{m}(Omega )}$ el conjunto de todas las funciones reales con m derivadas continuas definidas en ${displaystyle Omega }$, donde este conjunto es acotado y abierto en ${displaystyle R^{n}}$ ^[4]​

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