Problema de los dos cuerpos

En mecánica, el problema de los dos cuerpos consiste en determinar el movimiento de dos partículas puntuales que solo interactúan entre sí. Los ejemplos comunes incluyen la Luna orbitando la Tierra y en ausencia del Sol, es decir aislados, un planeta orbitando una estrella, dos estrellas que giran en torno al centro de masas (estrella binaria), y un electrón orbitando en torno a un núcleo atómico.

Como se explica más adelante, las leyes de Newton permiten reducir el problema de los dos cuerpos a un problema de un cuerpo equivalente, es decir, a resolver el movimiento de una partícula sometida a un campo gravitatorio conservativo y que por tanto deriva de un potencial externo. Dado que el problema puede resolverse exactamente, el problema de los dos cuerpos correspondiente también puede resolverse con exactitud, excepto si uno de los cuerpos es irregular, en cuyo caso se vuelve irresoluble. Por el contrario, el problema de los tres cuerpos (y, más generalmente, el problema de ${displaystyle n}$ cuerpos con ${displaystyle ngeq 3}$) no puede resolverse, excepto en casos especiales.

Sean ${displaystyle mathbf {x} _{1}}$ y ${displaystyle mathbf {x} _{2}}$ vectores que indican la posición de dos cuerpos, y ${displaystyle m_{1}}$ y ${displaystyle m_{2}}$ sus masas. La segunda ley de Newton determina que

donde ${displaystyle mathbf {F} _{1,2}}$ es la fuerza en la masa 1 debido a su interacción con la masa 2, y ${displaystyle mathbf {F} _{2,1}}$ es la fuerza en masa 2 respecto a la masa 1. Los dos puntos sobre los vectores de posición denotan la derivada segunda respecto del tiempo t, es decir, corresponde al vector de aceleración

Nuestro objetivo es determinar las trayectorias ${displaystyle mathbf {x} _{1}(t)}$ y ${displaystyle mathbf {x} _{2}(t)}$ en todo instante ${displaystyle t}$, dadas las posiciones iniciales ${displaystyle mathbf {x} _{1}(t=0)}$ y ${displaystyle mathbf {x} _{2}(t=0)}$ y las velocidades iniciales ${displaystyle mathbf {v} _{1}(t=0)}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{2}(t=0)}$ (12 constantes en total). Un truco importante para resolver el problema de dos-cuerpos es sumar y restar estas dos ecuaciones que descompone el problema en dos problemas. La suma produce una ecuación que describe el movimiento del centro de masas, y la resta da una ecuación que describe cómo varía con el tiempo el vector de posición entre las dos masas. Al combinar las soluciones a estos dos problemas de un-cuerpo se obtienen las soluciones de las trayectorias ${displaystyle mathbf {x} _{1}(t)}$ y ${displaystyle mathbf {x} _{2}(t)}$.

La suma de las dos ecuaciones

${displaystyle m_{1}{ddot {mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{ddot {mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){ddot {mathbf {x} }}_{cm}=mathbf {F} _{12}+mathbf {F} _{21}=0}$

donde hemos usado tercera ley de Newton ${displaystyle mathbf {F} _{12}=-mathbf {F} _{21}}$ y donde

${displaystyle mathbf {x} _{cm}equiv {frac {m_{1}mathbf {x} _{1}+m_{2}mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

es la posición del centro de masas (baricentro) del sistema. La ecuación resultante

${displaystyle {ddot {mathbf {x} }}_{cm}=0}$

muestra que la velocidad ${displaystyle {dot {mathbf {x} }}_{cm}}$ del centro de masa es constante, de lo que se deduce que la cantidad de movimiento total ${displaystyle m_{1}{dot {mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{dot {mathbf {x} }}_{2}}$ también es constante (conservación de la cantidad de movimiento). De modo que, pueden determinarse la posición y velocidad del centro de masa en cualquier instante dadas las posiciones y velocidades iniciales.

Restando las dos ecuaciones de fuerza y reestructurando la ecuación

${displaystyle {ddot {mathbf {x} }}_{1}-{ddot {mathbf {x} }}_{2}=left({frac {mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{frac {mathbf {F} _{21}}{m_{2}}} ight)=left({frac {1}{m_{1}}}+{frac {1}{m_{2}}} ight)mathbf {F} _{12}}$

donde hemos usado de nuevo la tercera ley de Newton ${displaystyle mathbf {F} _{12}=-mathbf {F} _{21}}$.

Nosotros introducimos un nuevo vector ${displaystyle mathbf {r} }$

${displaystyle mathbf {r} equiv mathbf {x} _{1}-mathbf {x} _{2}}$

eso es el vector de posición de la masa 1 respecto de la masa 2. La fuerza entre los dos objetos solo es una función de este vector de posición ${displaystyle mathbf {r} }$ y no de sus posiciones absolutas ${displaystyle mathbf {x} _{1}}$ y ${displaystyle mathbf {x} _{2}}$: si no fuera así, se violaría la simetría de traslación, es decir, las leyes de la física cambiarían de un lugar a otro. Por consiguiente, la ecuación puede escribirse

donde ${displaystyle mu }$ es la masa reducida

Una vez que hemos resuelto las ecuaciones ${displaystyle mathbf {x} _{cm}(t)}$ y ${displaystyle mathbf {r} (t)}$, las trayectorias originales pueden obtenerse de las ecuaciones

como puede verificarse por sustitución en las ecuaciones de definición de ${displaystyle mathbf {x} _{cm}(t)}$ y ${displaystyle mathbf {r} (t)}$.

El movimiento de dos cuerpos siempre está en un plano. Como la fuerza al vector ${displaystyle mathbf {r} }$ es ${displaystyle mathbf {F} =mu {ddot {mathbf {r} }}}$ definiremos la cantidad de movimiento de este cuerpo como la cantidad necesaria para que ${displaystyle {frac {dmathbf {p} }{dt}}=mathbf {F} }$, es decir ${displaystyle mathbf {p} =mu {dot {mathbf {r} }}}$. Por otro lado el momento angular se define como:

${displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} imes mathbf {p} }$

Su derivada con respecto al tiempo es:

${displaystyle {frac {dmathbf {L} }{dt}}={dot {mathbf {r} }} imes mathbf {p} +mathbf {r} imes {frac {dmathbf {p} }{dt}}={dot {mathbf {r} }} imes mu {dot {mathbf {r} }}+mathbf {r} imes mathbf {F} }$

Y el primer término es nulo, pues ${displaystyle {dot {mathbf {r} }} imes mu {dot {mathbf {r} }}=mu ({dot {mathbf {r} }} imes {dot {mathbf {r} }})=mathbf {0} }$. Por tanto la variación con el tiempo del momento angular es igual al momento de fuerza ${displaystyle mathbf {N} }$

${displaystyle {frac {dmathbf {L} }{dt}}=mathbf {r} imes mathbf {F} =mathbf {N} }$

Como la fuerza entre las dos partículas está en la línea que las une y por tanto es paralela al radio vector ${displaystyle mathbf {F} propto mathbf {r} }$, el producto vectorial entre el vector de posición y la fuerza es nulo ${displaystyle mathbf {r} imes mathbf {F} =0}$. Así que el momento es nulo y el momento angular o cinético es constante. Si el vector momento angular ${displaystyle mathbf {L} }$ es constante, entonces, el vector de posición ${displaystyle mathbf {r} }$ y su velocidad ${displaystyle {dot {mathbf {r} }}}$ están siempre en el mismo plano, normal a ${displaystyle mathbf {L} }$.

Es útil a menudo cambiar a las coordenadas polares, ya que el movimiento está en un plano y, para muchos problemas físicos, la fuerza ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {r} )}$ solo es una función del radio ${displaystyle r}$ (es una fuerza central).

Al moverse durante un instante de tiempo, el vector de posición ${displaystyle {vec {r}}}$ describe un área elemental ${displaystyle d{mathcal {A}}}$ que vale: ${displaystyle d{mathcal {A}}={frac {r^{2}d heta }{2}}}$, así que la velocidad areolar o área barrida por el vector de posición en la unidad de tiempo es: ${displaystyle {frac {d{mathcal {A}}}{dt}}={frac {r^{2}{dot { heta }}}{2}}}$.

El módulo del momento angular es ${displaystyle L=mu r^{2}omega }$ donde ${displaystyle omega equiv {dot { heta }}}$, puede demostrarse reemplazando la velocidad en coordenadas polares en ${displaystyle L=mathbf {r} imes mu {dot {mathbf {r} }}}$. Así que se puede expresar la velocidad areolar en función del momento angular ${displaystyle {frac {d{mathcal {A}}}{dt}}={frac {L}{2mu }}={frac {C}{2}}=cte}$ con ${displaystyle C=L/mu ,}$ "constante de las áreas".

Esta ley de las áreas fue enunciada empíricamente por primera vez en 1609 por Johannes Kepler y explica el movimiento de los planetas alrededor del Sol constituyendo la segunda ley de Kepler. Conviene recalcar que este hecho es una propiedad general del movimiento de las fuerzas centrales y es por tanto más general que las fuerzas de la gravitación inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.

El movimiento de un planeta en el plano de su órbita, se compone de dos movimientos, uno el ángulo que gira el radio vector y el otro su acercamiento o alejamiento del primario, es decir la variación del módulo del radio vector con el tiempo. La ley de las áreas determina que, un cuerpo gira más rápido cuando está cerca y lento cuando está lejos y lo hace cuantitativamente, como para poder establecer el ángulo de giro, aunque resulta difícil. Para obtener el ángulo de giro E con el tiempo hay que expresar está fórmula de otra manera:

Esta fórmula se denomina ecuación de Kepler, donde M es la anomalía media, e es la excentricidad y E la anomalía excéntrica.

Solo queda saber como varía ${displaystyle r}$ con el tiempo y eliminando t entre las dos euaciones obtener la órbita.

Newton dijo que "todo objeto en el universo atrae a otro objeto a lo largo de la línea que une el centro de los objetos, (fuerza central) proporcional a las masas de cada objeto, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos."

Por la segunda ley de Newton la aceleración a es de la forma

${displaystyle mathbf {a} ={frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){hat {mathbf {r} }}.}$

En coordenadas polares la velocidad, asumiendo que la órbita está en el plano OXY vale:

${displaystyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}={dot {r}}{hat {mathbf {r} }}+r{dot { heta }}{hat {oldsymbol { heta }}},}$

y la aceleración:

${displaystyle {frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}=({ddot {r}}-r{dot { heta }}^{2}){hat {mathbf {r} }}+(r{ddot { heta }}+2{dot {r}}{dot { heta }}){hat {oldsymbol { heta }}}.}$

La aceleración en componentes y dado que solo tiene componente radial:

Sustituyendo ${displaystyle {ddot { heta }}}$ y ${displaystyle {dot {r}}}$, la segunda ecuación queda:

Separando variables:

La integración resulta:

Sabemos que momento angular específico (por unidad de masa) vale:

Tomando logaritmos:

Trescientos años de experiencia avalan el cambio de variable:

Derivando:

Volviendo a derivar y teniendo presente que ${displaystyle {dot { heta }}=u^{2}ell }$

La ecuación de movimiento en ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}}$

La ley de Newton de la gravitación indica que la fuerza por unidad de masa es:

donde G es la constante de gravitación universal y M es la masa de la estrella.

Resulta,

Esta ecuación diferencial tiene la solución general:

donde e and θ₀ son constantes arbitrarias de integración.

Reemplazando u por 1/r y haciendo θ₀ = 0:

Esta es la ecuación de una cónica con excentricidad e y origen en un foco. Por tanto, la primera ley de Kepler es un resultado directo de la ley de la gravitación de Newton y de la segunda ley de Newton del movimiento.

θ recibe el nombre de anomalía verdadera normalmente se representa por V es el ángulo que forma el radio vector con el periastro y se relaciona fácilmente con la anomalía excéntrica E.

El problema de los dos cuerpos es interesante en astronomía porque los pares de objetos astronómicos se mueven a menudo rápidamente en direcciones arbitrarias (por lo que sus movimientos se vuelven interesantes), están muy separados entre sí (por lo que no colisionarán) y aún más separados de otros objetos (por lo que las influencias externas serán lo suficientemente pequeñas como para ser ignoradas con seguridad).

Bajo la fuerza de gravedad, cada miembro de un par de tales objetos orbitará alrededor de su centro de masa mutuo en un patrón elíptico, a menos que se muevan lo suficientemente rápido como para escapar el uno del otro por completo, en cuyo caso sus trayectorias divergirán a lo largo de otras secciones cónicas planas. Si un objeto es mucho más pesado que el otro, se moverá mucho menos que el otro con referencia al centro de masa compartido. El centro de masa mutuo puede estar incluso dentro del objeto mayor.

Para la derivación de las soluciones del problema, véase Problema clásico de la fuerza central o Problema de Kepler.

En principio, las mismas soluciones se aplican a los problemas macroscópicos que implican objetos que interactúan no sólo a través de la gravedad, sino a través de cualquier otro campo de fuerza escalar que obedezca a una ley del cuadrado inverso, siendo la atracción electrostática el ejemplo físico más obvio. En la práctica, estos problemas rara vez se plantean. Salvo quizás en aparatos experimentales u otros equipos especializados, rara vez encontramos objetos que interactúen electrostáticamente y que se muevan lo suficientemente rápido, y en una dirección tal, como para evitar la colisión, y/o que estén lo suficientemente aislados de su entorno.

El sistema dinámico de un sistema de dos cuerpos bajo la influencia del par resulta ser una ecuación de Sturm-Liouville. ^[1]​

En mecánica relativista el problema de los dos cuerpos es más complicado debido a que no es posible postular una acción a distancia y por tanto el efecto de un cuerpo sobre otro depende, no de su posición actual, sino de su posición en un instante ligeramente anterior. Además el problema gravitatorio de los dos cuerpos ni siquiera admite una formulación exacta en la teoría de la relatividad especial y requiere del uso del formalismo de la teoría de la relatividad general, donde la geometría del espacio-tiempo es variable.

Además dos cuerpos que actúan uno sobre otro mediante interacciones electromagnéticas o gravitatorias deben emitir ondas electromagnéticas y gravitatorias, por lo que dicho problema siempre implicará la existencia de un campo continuo que radia energía desde el centro de masa hacia afuera. Esto impide el tratamiento del problema de los dos cuerpos como un sistema cerrado que conserva la energía total.

El problema de los dos cuerpos atraídos por fuerzas electromagnéticas admite una solución en mecánica cuántica. De hecho el átomo hidrogenoide es un caso particular del problema de los dos cuerpos en su versión cuántica. Es notorio que en este caso el movimiento no es estrictamente plano. Por ejemplo los electrones estabilizados alrededor de un núcleo atómico tienen una probabilidad no nula de encontrarse en cualquier plano que contenga al núcleo a diferencia de lo que pasa con el problema de los dos cuerpos clásicos donde las partículas están siempre contenidas en un plano.

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