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Distribución binominal



Función de masa de probabilidad

Función de distribución acumulada

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial o distribución binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad . [2]

Si una variable aleatoria discreta tiene una distribución binomial con parámetros y con entonces escribiremos .

Si entonces su función de probabilidad está dada por

para , siendo

el coeficiente binomial y se lee “las combinaciones de en “.

En ocasiones, para calcular las probabilidades binomiales se utiliza la siguiente fórmula recursiva para calcular en términos de

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria está dada por

También puede ser expresada en términos de la función beta incompleta como

que es equivalente a la función de distribución acumulada de la distribución F.

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). El valor de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos, y se denotan como y respectivamente o como y de forma alternativa.

Se designa por a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable sigue una distribución de probabilidad binomial.

Supongamos que se lanza 51 veces un dado de 6 caras y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.

En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez. Consideramos un éxito si obtenemos un 3 pero si no sale 3 lo consideramos como un fracaso. Defínase como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.

En este caso tenemos por lo que la probabilidad buscada es

Si es una variable aleatoria discreta tal que entonces

La primera de ellas es fácil de demostrar, por definición de Esperanza

el primer término de la suma, es decir, para el término vale cero por lo que podemos iniciar la suma en

Dado que

para .

Reemplazando lo anterior en la expresión de obtenemos

Haciendo el cambio de índice obtenemos

Finalmente por la fórmula de Newton (Teorema del binomio)

Obtenemos

Si y son variables aleatorias independientes con la misma probabilidad entonces la variable aleatoria también es una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros y , es decir

Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que entonces

Lo anterior es equivalente a decir que la distribución Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial cuando , es decir, si entonces .

Si y es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro .

Si es una variable aleatoria con media y varianza entonces

conforme , esta aproximación es buena si y .

Si son variables aleatorias independientes tales que con entonces



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