Distribución chi cuadrado

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado (también llamada distribución de Pearson o distribución ${displaystyle chi ^{2}}$) con ${displaystyle kin mathbb {N} }$ grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de ${displaystyle k}$ variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

Sean ${displaystyle Z_{1},dots ,Z_{k}}$ variables aleatorias independientes tales que ${displaystyle Z_{i}sim N(0,1)}$ para ${displaystyle i=1,2,dots ,k}$ entonces la variable aleatoria ${displaystyle X}$ definida por

tiene una distribución chi cuadrada con ${displaystyle k}$ grados de libertad.

Si la variable aleatoria continua ${displaystyle X}$ tiene una distribución Chi Cuadrada con ${displaystyle k}$ grados de libertad entonces escribiremos ${displaystyle Xsim chi _{k}^{2}}$ o ${displaystyle Xsim chi ^{2}(k)}$.

Si ${displaystyle Xsim chi _{k}^{2}}$ entonces la función de densidad de la variable aleatoria ${displaystyle X}$ es

para ${displaystyle x>0}$ donde ${displaystyle Gamma }$ es la función gamma.

Si ${displaystyle Xsim chi _{k}^{2}}$ entonces su función de distribución está dada por

donde ${displaystyle gamma (k,z)}$ es la función gamma incompleta.

En particular cuando ${displaystyle k=2}$ entonces esta función toma la forma

Si ${displaystyle Xsim chi _{k}^{2}}$ entonces la variable aleatoria ${displaystyle X}$ satisface algunas propiedades.

La media de la variable aleatoria ${displaystyle X}$ es

La varianza de la variable aleatoria ${displaystyle X}$ es

La función generadora de momentos de ${displaystyle X}$ es

para ${displaystyle 2t<1}$.

Sea ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2})}$ entonces

donde

y

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Sean ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2})}$ donde ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle sigma ^{2}}$ son desconocidos.

Se tiene que

Sean ${displaystyle chi _{n-1,alpha /2},chi _{n-1,1-alpha /2}in mathbb {R} }$ tales que

siendo ${displaystyle Ysim chi _{n-1}^{2}}$ entonces

por lo tanto un intervalo de ${displaystyle (1-alpha )100\%}$ de confianza para ${displaystyle sigma ^{2}}$ está dado por

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también