Espacio topológico

Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad, vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.^[1]​ La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología. Las variedades, al igual que los espacios métricos, son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.

Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumplen las tres propiedades siguientes:

A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos o simplemente abiertos de (X,T);^[4]​ y a sus complementos en E, conjuntos cerrados.

Toda métrica permite definir de manera natural en un espacio la topología formada por las uniones arbitrarias de bolas de centro ${displaystyle r}$ y radio ${displaystyle d}$:

${displaystyle quad B(r,d)}$

Esta topología se aproxima a la noción intuitiva de conjunto abierto, permitiendo una aproximación de carácter local a la topología.

En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?

Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y con su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".

No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquier vecindad de b encuentra R - A.

Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios métricos, que son más intuitivos pues corresponden al mundo real (asimilable a R³). En topología, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, más general, de vecindad o entorno. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Tenemos entera libertad para definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:

Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:

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