Función theta de Jacobi

En matemática, las funciones theta o θ-funciones son funciones especiales de varias variables complejas. Son importantes en diversas áreas, incluidas las teorías de variedades abelianas y espacios móduli, y de las formas cuadráticas. También se las ha aplicado a la teoría de solitones. Usadas para generalizar a una álgebra de Grassmann, aparecen en la teoría cuántica de campos, en particular la teoría de las cuerdas y D-branas.

La forma más común de la función theta es que proviene de teoría de las funciones elípticas. Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z), una función theta expresa su comportamiento respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociados, lo que la hace una función cuasi periódica. En la teoría abstracta proviene de una condición descendente sobre un fibrado vectorial.

La función theta de Jacobi (por el matemático Carl Gustav Jacobi) es una función definida por dos variables complejas τ y z, donde z puede ser cualquier número complejo y τ pertenece al semiplano superior, es decir que tiene su parte imaginaria positiva. Es dada por la fórmula

Si τ es fijo, esta se convierte en una serie de Fourier para una función periódica respecto a z con período 1. En este caso, la función theta satisface la identidad

La función también se comporta muy regularmente con respecto a su cuasi período τ y cumple la ecuación funcional

donde a y b son enteros.

La función theta de Jacobi también se puede escribir con un doble 0 como subíndice:

Tres funciones auxiliares (semiperiódicas) son definidas por

Esta notación proviene de Riemann y Mumford; la formulación original de Jacobi fue presentada en términos de q = exp(πiτ), en lugar de τ. En la notación de Jacobi las θ-funciones están escritas como:

La anterior definición de las funciones theta de Jacobi no las determina en forma única.

Si fijamos z = 0 en las funciones anteriores, obtenemos cuatro funciones que varían sólo respecto a τ, definidas en el semiplano superior (a veces llamadas theta constantes.) Estas pueden utilizarse para definir una variedad de formas modulares, y para parametrizar ciertas curvas. En particular, la identidad de Jacobi es

que es la curva de Fermat de grado cuatro.

Las identidades de Jacobi describen cómo se transforman las funciones theta bajo el grupo modular, que es generado por τ ↦ τ +1 y τ ↦ -1 / τ. Ya tenemos las ecuaciones de la primera transformación, para la segunda, sea

entonces

La relación

fue utilizada por Riemann para demostrar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann, usando la integral

la cual es invariante bajo la sustitución de s por 1 − s.

La función theta fue utilizada por Jacobi para construir sus funciones elípticas como los cocientes de las cuatro funciones theta, y podría también haber sido utilizada por él para la construcción de funciones elípticas de Weierstrass también, puesto que

donde la segunda derivada es con respecto a la z y la constante c se define de manera que la expansión de Laurent ${displaystyle wp (z)}$ en z = 0 tiene término constante cero.

Sea η la función eta de Dedekind. Entonces

La función theta de Jacobi es la única solución a la ecuación 1-dimensional de calor con condiciones de frontera periódicas en tiempo cero. Se ve más fácilmente tomando z = x reales, y teniendo τ = it, con t real y positivo. Entonces podemos escribir

lo cual resuelve la ecuación de calor

Que esta solución es única se puede ver observando que en t = 0, la función theta se convierte en el peine de Dirac:

donde δ es la función delta de Dirac. Así, en general las soluciones pueden ser especificadas convolucionando la condición de frontera (periódica) en t = 0 con la función theta.

La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg.

Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociado a F es

con la sumatoria que se extiende sobre el reticulado Zⁿ (n-uplas de números enteros). Esta función theta es una forma modular de peso n/ 2 del grupo modular. En la expansión de Fourier,

los númerosR_F(k) son llamados a la números de representación de la forma.

Sea

el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es positiva definida. Aquí, elevar a la T denota la traspuesta de la matriz. H_n es llamado el semiplano superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior. El análogo n-dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico Sp(2n,Z); para n = 1, Sp(2,Z) = SL(2,Z). El análogo n-dimensional de los subgrupos de congruencia es desempeñado por ${displaystyle { extrm {Ker}}{{ extrm {Sp}}(2n,mathbb {Z} ) ightarrow { extrm {Sp}}(2n,mathbb {Z} /kmathbb {Z} )}}$.

Luego, dado ${displaystyle au in mathbb {H} _{n}}$, la función theta de Riemann se define como

Aquí, ${displaystyle zin mathbb {C} ^{n}}$ es vector complejo n-dimensional. La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con n = 1 y ${displaystyle au in mathbb {H} }$ donde ${displaystyle mathbb {H} }$ es el semiplano superior.

La theta de Riemann converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos de ${displaystyle mathbb {C} ^{n} imes mathbb {H} _{n}.}$

La ecuación funcional es

la cual vale para todos los vectores ${displaystyle a,bin mathbb {Z} ^{n}}$,y para todo ${displaystyle zin mathbb {C} ^{n}}$ y ${displaystyle au in mathbb {H} _{n}}$.