On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
La Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS por sus siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) es una base de datos que registra secuencias de números enteros.
La información que contiene OEIS es de interés para matemáticos profesionales, pero también sirve como entretenimiento para cualquiera que desee practicar la matemática recreativa.
A fecha 17 de enero de 2022 09:55 EST la OEIS tiene 350.387 secuencias, lo que la hace la base de datos más grande de este tipo. Entre ellas están la famosa lista de números primos (A000040), la sucesión de Fibonacci (A000045), y otras sin nombre propio, por ejemplo: la secuencia de "números que no son cuadrados" módulo 48 (A028761).
Cada entrada contiene los primeros términos de la secuencia, palabras clave que la describen, motivación matemática, fórmulas, enlaces a obras relacionadas, y más. Las secuencias se pueden buscar por cualquiera de estos campos, por subsecuencia, y de otras formas.
Neil Sloane empezó a coleccionar secuencias de enteros en los años 1960 como apoyo a su trabajo en combinatoria. Al principio, la base de datos la almacenaba en tarjetas perforadas, pero se publicó en forma de libro dos veces:
Estos libros fueron bien recibidos, y, sobre todo después de la segunda publicación, los matemáticos empezaron a enviar a Sloane nuevas secuencias de forma continua. Entonces, la colección se hizo intratable para estar en forma de libro, y cuando alcanzó las 16 000 secuencias, Sloane decidió pasarlas a Internet: primero, como un servicio de correo electrónico (1995), y poco después como un servicio web (1996). Actualmente la base de datos sigue creciendo, a un ritmo de aproximadamente 10 000 entradas por año.
En 2004, Sloane celebró el registro de la secuencia número 100 000 (A100000). En 2006, se renovó la interfaz de usuario y se añadieron nuevas opciones de búsqueda. En octubre de 2010, ya lleva 179 911 secuencias, y continua aproximándose hacia las 200 000 gracias a la colaboración de varias personas de diversos campos de estudios.
La base de datos ha sido gestionada por Sloane durante más de 40 años, pero desde el 2002, un grupo de editores y voluntarios ayudan a mantenerla.
Como resultado de su trabajo en esta colección, en 1998 Sloane fundó el Journal of Integer Sequences.
Además de secuencias de números enteros, OEIS también registra secuencias de fracciones, números complejos, dígitos de números trascendentes, y otros. Lo que se hace es representarlos en forma de secuencia de enteros.
Por ejemplo, las secuencias de racionales se representan mediante dos secuencias (etiquetadas con la palabra clave "frac"): la de numeradores y la de denominadores. Como muestra: la quinta sucesión de Farey, , está catalogada como la secuencia de numeradores 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4 (A006842), y la secuencia de denominadores 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5 (A006843).
Algunos de los números irracionales importantes, como pi (π = 3,1415926535897…) salen bajo la lista infinita de sus decimales: 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, … (A000796).
Actualmente (2006) OEIS está limitado a texto ASCII, por lo que usa una convención para la notación matemática. Por ejemplo, f(n) para funciones, n para la variable índice, etc. Las letras griegas se escriben mediante el nombre completo, como mu para μ, phi para φ, etc.
Cada secuencia se identifica por la letra A seguida de 6 dígitos, que a veces se ponen sin los ceros de la izquierda, ej. A315 en vez de A000315.
Los números de la secuencia están separados por comas. Las cifras de cada número están juntas, sin comas, puntos o espacios.
En comentarios y fórmulas, a(n) representas el término número n de la secuencia a.
A veces se usa el cero para representar la inexistencia de algunos elementos de la secuencia. Por ejemplo, A104157 enumera el menor primo de entre los n^2 primos consecutivos que se necesitan para hacer un cuadrado mágico n X n de mínima constante mágica, o 0 si no existe tal cuadrado. Para a(1) (cuadrado mágico de 1 X 1), vale 2; a(3) vale 1480028129, pero no hay ningún cuadrado mágico de 2 X 2, por lo que a(2) es 0.
Este uso especial tiene sentido matemáticamente en algunas funciones de conteo; por ejemplo, la función fi de Euler (A014197) cuenta el número de soluciones de φ(x) = m. Hay 4 soluciones para 4, pero ninguna para 14, por tanto a(14) en la A014197 vale 0.
La OEIS almacena el orden lexicográfico de las secuencias, por lo que cada una tiene un predecesor y un sucesor (se les llama contexto). Para calcular el orden, se normaliza cada secuencia omitiendo los ceros y unos iniciales e ignorando los signos.
Por ejemplo, tenemos las secuencias: números primos, primos palindrómicos, sucesión de Fibonacci, la del número máximo de trozos conseguidos con n cortes de un círculo (problema de cortar el pastel) , y la de los coeficientes en la expansión de la serie . En el orden lexicográfico de OEIS, quedan:
mientras que en orden lexicográfico sin normalizar, el orden sería #3, #5, #4, #1, #2.
Muy pronto en la historia de OEIS hubo gente que sugirió secuencias basadas en el orden de las propias secuencias de OEIS. Sloane decía: «Me resistí a añadir esas secuencias durante mucho tiempo, en parte porque deseaba mantener la dignidad de la base de datos, pero también porque A22 ¡solo tenía 11 términos conocidos!».
Una de las primeras secuencias auto-referentes que Sloane aceptó en el EOIS fue A031135 (después A091967): "a(n) = término número n de la secuencia An". Se continuó trabajando con esta secuencia en el momento en que se encontraron más términos para A000022. Pero con n grandes, esta n puede corresponder a una secuencia que tiene términos finitos (palabra clave «fini») y todos conocidos (palabra clave «full»); en ese caso, a(n) de A091967 está indefinido.
A100544 lista el primer término dado en la secuencia An, pero se tiene que actualizar de vez en cuando debido a la diferencia de opiniones sobre el desplazamiento de cada secuencia. Otra alternativa sería listar el término a(1) de la secuencia An, si no fuera porque algunas secuencias tienen un desplazamiento de 2 o mayor.
Estas ideas condujeron a la pregunta "¿Está n en la secuencia An?", y se crearon A053873: n está en An, y A053169: n no está en An. Por ejemplo, el primo compuesto 2808 está en A053873 porque A002808 es la secuencia de números primos compuestos, y el no-primo 40 está en A053169 porque no está en A000040, los números primos. La paradoja es: ¿a qué secuencias pertenecen 53169 y 53873?
Aquí se muestra parte de A046970, que es una que contiene información en casi todos los campos posibles.
Cada secuencia en OEIS tiene un número de serie: un entero positivo de seis dígitos precedido por A (y con los ceros a la izquierda, hasta noviembre de 2004). Los números son asignados por algún editor, o por un expendedor de números A que hay en la página: se pueden pedir varios a la vez, y esto es útil para poder crear referencias cruzadas entre varias secuencias que queremos incluir. Si no se usa un número A dado por el sistema, se pierde al cabo de un mes.
Un ID mayor suele indicar que se añadió después. Como ejemplo, aquí se muestran varias secuencias escogidas arbitrariamente, junto con su fecha de entrada en el OEIS.
Las secuencias que salían en los libros (antes de existir OEIS) no tenían los mismos ID. El Handbook of Integer Sequences de 1973 tenía unas 2400 secuencias ordenadas lexicográficamente, y cada una se identificaba con la letra M seguida de 4 dígitos (incluyendo ceros). El libro Encyclopedia of Integer Sequences, de 1973, tenía 5487 secuencias, también por orden lexicográfico, usando como ID la letra N con 4 dígitos (incluyendo ceros). En el actual OEIS, al acceder a estos registros antiguos (mediante el nuevo identificador A), aún se pueden ver los antiguos números M y N que tenían, entre paréntesis después del A.
El campo URL da el formato preferido para enlazar a la página. Es una dirección corta que contiene la información básica.
Por ejemplo, la URL para acceder a A012345 es:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A012345
Aquí se listan los números de la secuencia, o al menos varias líneas con los primeros términos. No se hace distinción entre secuencias finitas pero largas y secuencias infinitas, así que para saber si hay más números de los que hay apuntados, hay que consultar si tiene las palabras clave "full", "fini", o "more".
Para saber cuál es la n tal que a(n) es el primer término, hay que consultar el campo "desplazamiento".
Internamente, las secuencias se graban sin signos de negativos. Si una secuencia tiene alguno, se usa este campo para grabar los términos junto con su signo. Además, tendrá que llevar la palabra clave "sign".
Aquí se graba el nombre de la secuencia (si es que tiene alguno conocido), o una descripción corta. Muchas veces se pone la fórmula, si es sencilla.
Por ejemplo, A000578 es 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, ... y tiene por nombre "Los cubos: a(n) = n^3."
Información sobre la secuencia que no se ajusta a los otros campos. Se suelen anotar relaciones curiosas entre diferentes secuencias, o se explican aplicaciones no triviales de alguna de ellas.
Por ejemplo, Sloane comenta en A003215 que hay una relación no esperada entre los números centrados hexagonales y los polinomios de Bessel segundos y_2(n) (A001498).
Si no se dice el autor de cada comentario, se atribuyen a quien envió la secuencia a OEIS.
Maple y Mathematica suelen ser los programas usados para calcular las secuencias de OEIS, y ambos tienen sus propios campos (etiquetados "Maple" y "Mathematica"). Cualquier otro programa se puede incluir con la etiqueta "Program" y el nombre entre paréntesis; algunos de los que se han usado son PARI, Magma, Matlab, e incluso Microsoft Excel.
Se supone que el programa ha sido escrito por la persona que envió la secuencia, a menos que se dé otro nombre.
Se marcan con "Cf." las referencias cruzadas (a otras secuencias) que ha incluido el autor de la secuencia.
Excepto en las secuencias nuevas, el campo «Véase también» incluye información sobre el orden lexicográfico de la secuencia (su contexto) y da enlaces a secuencias con números A cercanos. Por ejemplo, la secuencia A046970 ("coeficientes en la expansión en serie de Zeta(n+2)/Zeta(n)") tiene:
OEIS tiene su propio conjunto de palabras clave de 4 o 5 letras, que sirven para describir algunos detalles sobre cada secuencia. Estas son:
dead (muerta)
dumb (tonta)
dupe (duplicada)
easy (fácil)
hard (difícil)
unkn (desconocida)
Algunas palabras clave son mutuamente excluyentes, por ejemplo: "core" y "dumb", "easy" y "hard", "full" y "more", "nonn" y "sign", y quizás "core" y "new". Pero "dumb" y "nice" pueden salir a la vez, por ejemplo en A056064.
El desplazamiento (offset) es el índice del primer término dado; o sea, con qué n se empiezan a dar los términos en la secuencia de fórmula a(n). Suele ser 0 o 1, y el más habitual es 0, que además es el predeterminado.
A veces es muy fácil de obtener. Por ejemplo, si listamos la secuencia de cuadrados como 0, 1, 4, 9, 16, 25, ... el desplazamiento es 0; mientras que si la escribimos como 1, 4, 9, 16, 25, ... entonces es 1.
Otras veces hay discusiones sobre cuál debería ser el primer término. Por ejemplo, en el problema de cortar el pastel se decide el número máximo de trozos en que se puede cortar un pastel bajo, tortilla, pizza o círculo, haciendo n cortes. La secuencia que da OEIS es A000124: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ..., mientras que MathWorld dice 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ... La discusión está en si acepta n = 0 (hacer cero cortes al pastel), que técnicamente es posible (resulta en un solo trozo), pero es un caso irrelevante en este problema, ya que el pastel no se ha tocado.
Un ejemplos de secuencia con desplazamiento 3 es A073502: la constante mágica de un cuadrado mágico n X n con números primos (considerando 1 como primo) con suma de filas mínima. Otro ejemplo, con desplazamiento -1 es A072171, que cuenta el número de estrellas de magnitud visual n.
En realidad OEIS muestra dos números en el campo "desplazamiento". El primero es el descrito arriba, mientras que el segundo es un valor interno, que dice cuál es el índice del primer término (empezando en 1) que tiene un valor absoluto mayor que 1. Esto se graba para acelerar las búsquedas. Por ejemplo, A000001 empieza por 1, 1, 1, 2, con el primer término representando a(1), y por eso en el campo "desplazamiento" se muestra 1,4.
Consta como autor (o autores) la persona que envió la secuencia, aunque ésta sea conocida por todos desde hace tiempo. Se incluye el nombre, iniciales (si es aplicable), y apellido, junto con el correo electrónico (cambiando el carácter @ por (AT)). En muchas se incluye también la fecha en la que se añadió a OEIS.
Cuando el autor es Neil Sloane, pone solo "njas", que son sus iniciales.
Al principio había tres tipos de búsquedas posibles (por términos de secuencia, por palabra, o por identificador de secuencia), pero en enero de 2006 se rediseñó el sistema y se incluyeron las características avanzadas en la misma página de búsqueda.
En el sistema actual (2006), un solo cuadro de texto permite especificar todas las opciones de búsqueda. Algunas de las que se pueden hacer son:
Para el gran tamaño de su base de datos, OEIS está relativamente libre de errores. Pero como está operada por humanos, es inevitable que tenga algunos problemas o incluso errores.
Los errores computacionales o tipográficos en la propia secuencia son extremadamente raros. Casi todas las secuencias incluyen fórmula o programa de ordenador, y mucha gente dedica mucho esfuerzo a volver a comprobar y a ampliar los resultados. Algunas secuencias contienen números muy altos con muchas probabilidades de ser primos, y es posible que al final acaben siendo pseudoprimos en vez de primos reales; cuando esto pasa, se anota en un comentario.
Pero los errores más comunes en OEIS están en campos distintos al de "secuencia" o "secuencia con signos":