Operador lineal acotado

Un operador lineal acotado u operador acotado es una aplicación lineal definida sobre un espacio vectorial normado tal que la norma de sus valores puede acotarse. Más precisamente, la aplicación lineal ${displaystyle B:Xlongrightarrow Y;}$ es un operador acotado si y solo sí:

${displaystyle exists Kin mathbb {R} :max _{|v|=1}|B(v)|leq K}$

Existen diversos subtipos de operadores acotados, según se impongan criterios más restrictivos sobre sus propiedades. En particular en espacios de dimensión infinita puede establecerse la siguiente secuencia de inclusiones propias:^[1]​

${displaystyle {mbox{acotado}}supset {mbox{compacto}}supset {mbox{Hilbert-Schmidt}}supset {mbox{Operador con traza}}supset {mbox{degenerado}}}$

En dimensión finita si un operador es acotado pertenece a la clase de operadores acotados entonces también pertenece a cualquiera de las otras clases de arriba, por lo que la cadena anterior es trivial.

En lo que sigue consideraremos solo espacios de Banach o de Hilbert.

Un operador A se llama compacto o absolutamente continuo si para toda sucesión acotada la imagen de dicha sucesión contiene una subsucesión convergente. Es decir:

${displaystyle left(forall {varphi _{j}}_{j=1}^{infty }:max _{j}|varphi _{j}|leq C ight)Rightarrow left(exists {varphi _{j_{k}}}_{k=1}^{infty }:Avarphi _{j_{k}} {mbox{converge}} ight)}$

Obsérvese que un operador compacto necesariamente es acotado. Si un operador no fuera acotado podríamos encontrar una secuencia acotada que diverge en norma ${displaystyle |Avarphi _{j}| o infty }$ y por tanto sería imposible encontrar una subsecuencia convergente, y por tanto tampoco podría ser compacto.

Un operador de Hilbert–Schmidt (llamados así por David Hilbert y Erhard Schmidt) es un operador acotado A sobre un espacio de Hilbert H cuya norma de Hilbert–Schmidt es finita, es decir:^[2]​

${displaystyle |A|_{HS}^{2}={ m {Tr}}|A|^{2}:=sum _{ngeq 0}|Ae_{n}|^{2}}$

donde

Esta definición resulta independiente de la elección de la base y por tanto:

${displaystyle |A|_{HS}^{2}=sum _{m,ngeq 0}|A_{m,n}|^{2}=|A|_{2}^{2}}$

para ${displaystyle scriptstyle A_{m,n}=langle e_{m},Ae_{n} angle }$ y ${displaystyle scriptstyle |A|_{2}}$ la norma de Schatten de ${displaystyle A}$. En el espacio euclídeo ${displaystyle scriptstyle | |_{HS}}$ se llama también norma de Frobenius.

El producto de dos operadores de Hilbert–Schmidt tiene una norma de traza finita; por tanto si A y B son dos operadores de Hilbert-Schmidt, se puede definir el producto interno de Hilbert–Schmidt entre ellos como:

${displaystyle langle A,B angle _{mathrm {HS} }=operatorname {tr} (A^{*}B)=sum _{ngeq 0}langle Ae_{n},Be_{n} angle .}$

Los operadores de Hilbert–Schmidt forman un ideal bilateral *-ideal en el álgebra de Banach formada por los operadores acotados de H. Los operadores de Hilbert–Schmidt son cerrados en la norma topológica si y solo si H es de dimensión finita. Los operadores de Hilbert-Schmidt de un espacio, también forman ellos mismos un espacio de Hilbert y puede demostrarse que existe una transformación naturalmete isométrica e isomorfa entre ese espacio y el producto tensorial de espacios de Hilbert:

${displaystyle H^{*}otimes H,}$

donde H* es el espacio dual topológico de H.

Un operador lineal acotado A definido sobre un espacio de Hilbert separable H se llama de clase traza o de traza finita si para alguna base ortonormal {e_k}_k de H la suma de términos positivos:

${displaystyle |A|_{1}={ m {tr}} |A|:=sum _{k}langle (A^{*}A)^{1/2},e_{k},e_{k} angle }$

es finita. En ese caso la suma:

${displaystyle { m {tr}} A:=sum _{k}langle Ae_{k},e_{k} angle }$

es absolutamente convergente y es independiente de la elección de la base ortonormal. Este valor se denomina traza de A.

El espectro de un operador acotado tiene las siguientes propiedades básicas:

${displaystyle r_{sigma }(B)=sup{|lambda |:lambda in sigma (B)}}$

${displaystyle r_{sigma }(B)=lim _{n o infty }|B^{n}|^{1/n}}$